Теория организации и системный анализ

стратегия назначения цен.

Сущность ее (скажем, для нас) определяется из следующих рассуждений.

Если нам удастся купить первый объект, то наш доход составит (C1 - A1) или

же, при покупке второго, мы будем иметь доход (C2 - A2). Значит,

в среднем мы можем ожидать прибыль

d = 0.5((C1 + C2 — A1 — A2) = 0.5((C1 + C2 — S). {3 - 17}

Таким образом, нам выгоднее всего назначить цены

A1 = C1 — d = 0.5 ( (C1 — C2 + S);

A2 = C2 — d = 0.5 ( (C2 — C1 + S). {3 -

18}

Если же одна из них по расчету окажется отрицательной — выставим ее

нулевой и вложим все деньги в цену за другой объект.

Но и наш конкурент, имея ту же свободную сумму и рассуждая точно так

же, назначит за объекты точно такие же цены. Как говорится, боевая ничья!

Ну, если конкурент не владеет профессиональными

знаниями? Что ж, тем хуже для него — мы будем иметь доход больше, чем

конкурент.

Конкретный пример. Сумма свободных средств составляет по 10000 гривен

у каждого, цена первого объекта равна 7500, второго 10000 гривен.

Назначим цену за первый объект в 0.5((7500-10000+10000)=3750 гривен,

а за второй 0.5((10000-7500+10000) = 6250 гривен.

Наш доход при выигрыше первого или второго объекта составит 3750

гривен. Такой же доход ожидает и конкурента, если он выбрал такую же,

оптимальную стратегию. Но, если он так не поступил и назначил цену за

первый объект 3500, а за второй 6000 гривен (пытаясь сэкономить!), то в

таком случае мы можем выиграть торги по двум объектам сразу и будем иметь

доход уже в 7500 гривен — приобретая имущество общей стоимостью в 17500 за

цену в 10000 гривен!

Конечно, если стартовые суммы участников торгов неодинаковы, число

объектов велико и велико число участников, то задача поиска оптимальной

стратегии становится более сложной, но все же имеет аналитическое решение.

Рассмотрим теперь второй вид задачи — об открытых торгах (аукционах).

Пусть все те же два объекта (с теми же стоимостями) продаются с аукциона, в

котором участвуем мы и наш конкурент.

В отличие от первой задачи свободные суммы различны и составляют SA и

SB , причем каждая из них меньше (C1 + C2) и, кроме того, отношение

нашей суммы к сумме конкурента более 0.5, но менее 2.

Пусть мы знаем "толщину кошелька" конкурента и, поскольку ищем

оптимальную стратегию для себя, нам безразлично — знает ли он то же о наших

финансовых возможностях.

Задача наша заключается в том, что мы должны знать — когда надо

прекратить подымать цену за первый объект. Эту задачу не решить, если мы не

определим цель своего участия в аукционе (системный подход, напомним,

требует этого).

Здесь возможны варианты:

( мы хотим иметь максимальный доход;

( мы стремимся минимизировать доход конкурента;

( мы желаем максимизировать разницу в доходах — свой побольше, а

конкурента поменьше.

Наиболее интересен третий вариант ситуации — найти нашу стратегию,

обеспечивающую

DA — DB = Max.

{3-19}

Поскольку объектов всего два, то все решается в процессе торгов за

первый объект. Будем рассматривать свой ход в ответ на очередное

предложение цены X за этот объект со стороны конкурента.

Мы можем использовать две стратегии поступить двумя способами:

( стремиться уступить первый объект конкуренту — за наибольшую цену,

надеясь купить второй;

( стремиться купить первый объект — за минимальную цену, уступив

конкуренту второй.

Пусть конкурент назначил за первый объект очередную сумму X. Если мы

не добавим небольшую сумму (минимальную надбавку (), то первый объект

достанется конкуренту. При этом у конкурента в запасе останется сумма

SB - X. Доход конкурента составит при этом (без учета () DB = С1

- X.

Мы наверняка купим второй объект, если у нас в кармане

SA = (SB - X) + (, то есть немного больше, чем осталось у конкурента.

Значит, мы будем иметь доход DA = C2 - (SB - X) и разность доходов

в этом случае составит

DA - DB = C2 - C1 - SB + 2(X .

{3-20}

Ясно, что эта разность будет положительна только тогда, когда мы

уступим первый объект за цену

X > [pic],

{3-21}

но никак не меньше.

( Будем повышать цену за первый объект до суммы X+ ( с целью купить

его.

Наш доход составит при этом

DA = C1 - (X + ().

Второй объект достанется конкуренту за сумму

SA - (X + () + (,

так как ему придется поднять цену за этот объект до уровня,

чуть большего остатка денег у нас.

Доход конкурента составит

DB = C2 - (SA - (X + () + (),

а разность доходов составит (без учета ()

DA - DB = (C1 - X) - (C2 - SA + X) = С1 - С2 + SA - 2X .

{3-22}

Эта разность будет положительна при условии

X < [pic] ,

{3-23}

Мы нашли две "контрольные" суммы для того, чтобы знать — когда надо

пользоваться одной из двух доступных нам стратегий — выражения {3-21} и {3-

23}. Среднее этих величин составит

K = [pic] + [pic]

{3-24}

и определяет разумную границу для смены стратегий нашего участия в аукционе

с целью одновременно получить доход себе побольше, а конкуренту — поменьше.

Интересно сосчитать свой доход и разность доходов на этой границе.

( Если мы уступили первый объект на этой границе, то по {3-20}

DA - DB = C2 - C1 - SB + 2K = 0.5(SA - SB).

( Если же мы купили первый объект на этой границе, то по {3-22}

DA - DB = С1 - С2 + SA - 2K = 0.5(SA - SB).

Для удобства сопровождения числовыми данными зададимся свободными

суммами и ценами объектов (по нашему представлению об этих объектах): SA=

100 < 175; SB = 110 < 175; C1 = 75; C2 = 100;

0.5 < (SA/ SB < 2 и примем разрешенную надбавку к цене равной 1.

В этом конкретном случае граница "сражения" за первый объект проходит

через сумму

K = [pic] + [pic] = -12.5 + 52.5 = 40 $

Если наш конкурент считает, что объекты для него стоят столько же (он

знает нашу свободную сумму, а мы знаем его свободную сумму, но другой

информации мы и он не обладаем), то он вычислит эту же границу и мы будем

довольствоваться разностью доходов не в свою пользу: DA - DB = С1 - С2 +

SA - 2K = 0.5(SA - SB) = -5.

Что делать — у конкурента больший стартовый капитал.

Но, возможно, наш конкурент (играя за себя) будет считать стоимости

объектов совсем иными и для него граница будет совсем другой. Или же — цель

конкурента в данном аукционе совершенно не такая как наша, что также

обусловит другую граничную сумму участия в торгах за первый объект. Иными

словами — оптимальная стратегия для конкурента нам совершенно неизвестна.

Тогда все зависит от того, на какой сумме он "отдаст" нам первый

объект или, наоборот, до какой границы он будет "сражаться" за него .

Следующая таблица иллюстрирует этот вывод.

Таблица 3.9

|Граница | Владелец |Доход DA |Доход DB|Разность |

|1 торга за | | | |DA - DB |

|объект |1 объекта | | | |

|20 |A | 55 |20 |35 |

|30 |A | 45 |30 | 10 |

|35 |A | 40 |35 |5 |

|40 |A | 35 |40 |-5 |

|40 |B | 25 |35 |-5 |

|45 |B | 35 |30 |5 |

|50 |B | 40 |25 |15 |

|55 |B | 45 |20 |25 |

|60 |B | 50 |15 |40 |

|75 |B | 75 |0 |75 |

Заканчивая вопрос об открытых торгах — аукционах, отметим, что в

реальных условиях задача моделирования и выбора оптимальной стратегии

поведения оказывается весьма сложной.

Дело не только в том, число объектов может быть намного больше двух,

а что касается числа участников, то оно также может быть большим и даже не

всегда известным заранее. Это приведет к чисто количественным трудностям

при моделировании "вручную", но не играет особой роли при использовании

компьютерных программ моделирования.

Дело в другом — большей частью ситуация усложняется

неопределенностью, стохастичностью поведения наших конкурентов. Что ж,

прийдется иметь дело не с самими величинами (заказываемыми ценами, доходами

и т. д.), а с их математическими ожиданиями, вычисленными по вероятностным

моделям, или со средними значениями, найденными по итогам наблюдений или

статистических экспериментов.

11 Методы анализа больших систем, планирование экспериментов

Еще в начале рассмотрения вопросов о целях и методах системного

анализа мы обнаружили ситуации, в которых нет возможности описать элемент

системы, подсистему и систему в целом аналитически, используя системы

уравнений или хотя бы неравенств.

Иными словами — мы не всегда можем построить чисто математическую

модель на любом уровне — элемента системы, подсистемы или системы в целом.

Такие системы иногда очень метко называют "плохо организованными" или

"слабо структурированными".

Так уж сложилось, что в течение почти 200 лет после Ньютона в науке

считалось незыблемым положение о возможности "чистого" или однофакторного

эксперимента. Предполагалось, что для выяснения зависимости величины Y=f(X)

даже при очевидной зависимости Y от целого ряда других переменных всегда

можно стабилизировать все переменные, кроме X, и найти "личное" влияние X

на Y.

Лишь сравнительно недавно (см. работы В. В. Налимова) плохо

организованные или, как их еще называют — большие системы вполне "законно"

стали считаться особой средой, в которой неизвестными являются не то что

связи внутри системы, но и самые элементарные процессы.

Анализ таких систем (в первую очередь социальных, а значит и

экономических) возможен при единственном, научно обоснованном подходе —

признании скрытых, неизвестных нам причин и законов процессов. Часто такие

причины называют латентными факторами, а особые свойства процессов —

латентными признаками.

Обнаружилась и считается также общепризнанной возможность анализа

таких систем с использованием двух, принципиально различных подходов или

методов.

( Первый из них может быть назван методом многомерного

статистического анализа. Этот метод был обоснован и применен видным

английским статистиком Р.Фишером в 20..30 годы этого столетия. Дальнейшее

развитие многомерной математической статистики как науки и как основы

многих практических приложений считается причинно связанным с появлением и

совершенствованием компьютерной техники. Если в 30-е годы, при ручной

обработке данных удавалось решать задачи с учетом 2..3 независимых

переменных, то 1965 году решались задачи с 6 переменными, а к 70..80 годам

их число уже приближалось к 100.

( Второй метод принято называть кибернетическим или "винеровским",

связывая его название с отцом кибернетики Н.Винером. Краткая сущность этого

метода — чисто логический анализ процесса управления большими системами.

Рождение этого метода было вполне естественным — коль скоро мы признаем

существование плохо организованных систем, то логично ставить вопрос о

поиске методов и средств управления ими. Совершенно нелепо ставить вопрос о

распределении токов в электрической цепи — это процессы в хорошо

организованной (законами природы) системе.

Интересно, что оба метода, несмотря на совершенное различие между

собой, могут применяться и с успехом применяются при системном анализе

одних и тех же систем.

Так, например, интеллектуальная деятельность человека изучается

"фишеровским" методом — многие психологи, как иронически замечает

В.В.Налимов, "уверены, что им удастся разобраться в результатах

многочисленных тестовых испытаний ".

С другой стороны, построение т.н. систем искусственного интеллекта

представляет собой попытки создания компьютерных программ, имитирующих

поведение человека в области умственной деятельности, т.е. применение

"винеровского" метода.

Нетрудно понять, что экономические системы, скорее всего, следует

отнести именно к плохо организованным — прежде всего, потому, что одним из

видов элементов в них является человек. А раз так, то неудивительно, что

при системном анализе в экономике потребуется "натурный" эксперимент.

В простейшем случае речь может идти о некотором элементе

экономической системы, о котором нам известны лишь внешние воздействия

(что нужно для нормального функционирования элемента) и выходные его

реакции (что должен "делать" этот элемент).

В каком то смысле спасительной является идея рассмотрения такого

элемента как "черного ящика". Используя эту идею, мы признаемся, что не в

состоянии проследить процессы внутри элемента и надеемся построить его

модель без таких знаний.

Напомним классический пример — незнание процессов пищеварения в

организме человека не мешает нам организовывать свое питание по "входу"

(потребляемые продукты, режим питания и т. д.) с учетом "выходных"

показателей (веса тела, самочувствия и других).

Так вот, наши намерения вполне конкретны в части "что делать" — мы

собираемся подавать на вход элемента разные внешние, управляющие

воздействия и измерять его реакции на эти воздействия.

Теперь надо столь же четко решить — а зачем мы это будем делать, что

мы надеемся получить. Вопрос этот непростой — очень редко можно позволить

себе просто удовлетворить свою любознательность. Как правило, эксперименты

над реальной экономической системой являются вынужденной процедурой,

связанной с определенными затратами на сам эксперимент и, кроме того, с

риском непоправимых отрицательных последствий.

Теоретическое обоснование и методика действий в таких ситуациях

составляют предмет особой отрасли кибернетики — теории планирования

эксперимента.

Договоримся о терминологии:

( все, что подается на вход элемента, будем называть управляющими

воздействиями или просто воздействиями;

( все, что получается на выходе элемента, будем называть реакциями;

( если мы можем выделить в системе (или подсистеме) несколько в

некотором смысле однотипных элементов, то их совокупность будем называть

блоком;

( содержательное описание своих действий по отношению к элементам

блока будем называть планом эксперимента.

Очень важно понять цель планируемого эксперимента. В конце концов, мы

можем и не получить никакой информации о сущности процессов в цепочке "вход-

выход" в самом элементе.

Но если мы обнаружим полезность некоторых, доступных нам воздействий

на элемент и убедимся в надежности полученных результатов, то достигнем

главной цели эксперимента — отыскания опти-мальной стратегии управления

элементом. Нетрудно сообразить, что понятие "управляющее воздействие" очень

широко — от самых обычных приказов до подключения к элементу источников

энергетического или информационного "питания".

Оказывается, что уже само составление плана эксперимента требует

определенных познаний и некоторой квалификации.

Опыт доказывает целесообразность включения в план следующих четырех

компонентов:

( Описание множества стратегий управления, из которого мы

надеемся выбрать наилучшую.

( Спецификацию или детальное сравнительное описание элементов блока.

( Правила размещения стратегий на блоке элементов.

( Спецификацию выходных данных, позволяющих оценивать эффективность

элементов.

Внимательное рассмотрение компонентов плана эксперимента позволяет

заметить, что для его реализации требуются знания в раз-личных областях

науки, даже если речь идет об экономической системе — той области, в

которой вы приобретаете профессиональную подготовку. Так, при выборе

управляющих воздействий не обойтись без минимальных знаний в области

технологии (не всегда это — чистая экономика), очень часто нужны знания в

области юридических законов, экологии. Для реализации третьего компонента

совершенно необходимы знания в области математической статистики, так как

при-ходится использовать понятия распределений случайных величин, их

математических ожиданий и дисперсий. Вполне могут возникнуть ситуации,

требующие применения непараметрических методов статистики.

Для демонстрации трудностей составления плана эксперимента и

необходимости понимания методов использования результатов эксперимента,

рассмотрим простейший пример.

Пусть мы занимаемся системным анализом фирмы, осуществляющей торговлю

с помощью сети "фирменных" магазинов и имеем возможность наблюдать один и

тот же выходной показатель элемента такой системы (например, дневную

выручку магазина фирмы).

Естественным является стремление найти способ повышения этого

показателя, а если таких способов окажется несколько — выбрать наилучший.

Предположим, что в соответствии с первым пунктом правил планирования

эксперимента, мы решили испытать четыре стратегии управления магазинами.

Коль скоро такое решение принято, то неразумно ограничить эксперимент

одним элементом, если их в системе достаточно много и у нас нет

уверенности в "эквивалентности" условий работы всех магазинов фирмы.

Пусть мы имеем N магазинов — достаточно много, чтобы провести

"массовый" эксперимент, но их нельзя отнести к одному и тому же типу.

Например, мы можем различать четыре типа магазинов: А, Б, В и Г (аптечные,

бакалейные, водочные и галантерейные).

Ясно также (хотя и для этого надо немножко разбираться в технологии

торговли), что выручка магазина вполне может существенно зависеть от дня

недели — пусть рабочие дни всех магазинов: Ср, Пт, Сб, Вс.

Первое, "простое" решение, которое приходит в голову — выбрать из N

несколько магазинов наугад (применив равновероятное распределение их

номеров) и применять некоторое время новую стратегию управления ими. Но

столь же простые рассуждения приводят к мысли, что это будет не лучшее

решение.

В самом деле — мы рассматриваем элементы системы как

"равноправные" по нескольким показателям:

( мы ищем единую и наилучшую для фирмы в целом стратегию управления;

( мы используем единый для всех элементов показатель эффективности

(дневную выручку).

И, в то же время, мы сами разделили объекты на группы и тем самым

признаем различие во внешних условиях работы для различных групп. На языке

ТССА это означает, что профессиональные знания в области управления

торговлей помогают нам предположить наличие, по крайней мере, двух причин

или факторов, от которых может зависеть выручка: профиль товаров магазина

и день недели. Ни то, ни другое не может быть стабилизировано — иначе мы

будем искать нечто другое: стратегию для управления только водочными

магазинами и только по пятницам! А наша задача — поиск стратегии

управления всеми магазинами и по любым дням их работы.

Хотелось бы решить эту задачу так: выбирать случайно как группы

магазинов, так и дни недели, но иметь гарантию (уже не случайно!)

представительности выходных данных испытания стратегии.

Теория планирования эксперимента предлагает особый метод решения этой

проблемы, метод обеспечения случайности или рандомизации плана

эксперимента. Этот метод основан на построении

специальной таблицы, которую принято называть латинским квадратом, если

число факторов равно двум.

Для нашего примера, с числом стратегий 4, латинский квадрат может

иметь вид табл. 3.10 или табл. 3.11.

Таблица 3.10

Таблица 3.11

| |1 |2 |3 |4 |

|Ср |А |Б |В |Г |

|Пт |В |Г |А |Б |

|Сб |Б |А |Г |В |

|Вс |Г |В |Б |А |

| |Ср |Пт |Сб |Вс |

|А |1 |2 |3 |4 |

|Б |3 |4 |1 |2 |

|В |2 |1 |4 |3 |

|Г |4 |3 |2 |1 |

В ячейках первой таблицы указаны номера стратегий для дней недели и

магазинов данного профиля, причем такой план эксперимента гарантирует

проверку каждой из стратегий в каждом профиле торговли и в каждый день

работы магазина.

Конечно же, таких таблиц (квадратов) можно построить не одну —

правила комбинаторики позволяют найти полное число латинских квадратов типа

"4(4" и это число составляет 576. Для квадрата "3(3" имеется всего 12

вариантов, для квадрата "5(5" — уже 161 280 вариантов.

В общем случае, при наличии t стратегий и двух факторах,

определяющих эффективность, потребуется N=a(t2 элементов для

реализации плана эксперимента, где a в простейшем случае равно 1.

Это означает, что для нашего примера необходимо использовать 16

"управляемых" магазинов, так как данные, скажем второй строки и третьего

столбца, нашего латинского квадрата означают, что по субботам в одном из

выбранных наугад бакалейных магазинов будет применяться стратегия номер 1.

Отметим, что латинский квадрат для нашего примера может быть помтроен

совершенно иначе — в виде таблицы 3.11, но по-прежнему будет определять

все тот же, рандомизированный план эксперимента.

Пусть мы провели эксперимент и получили его результаты в виде

следующей таблицы, в ячейках которой указаны стратегии и результаты их

применения в виде сумм дневной выручки:

Таблица 3.12

|Дни |Магазины |Сумма |

| |А Б В | |

| |Г | |

|Вс |2: 47 |1: 90 |3: 79 |4: 50 |266 |

|Ср |4: 46 |3: 74 |2: 63 |1: 69 |252 |

|Пт |1: 62 |2: 61 |4: 58 |3: 66 |247 |

|Сб |3: 76 |4: 63 |1: 87 |2: 59 |285 |

|Сумма |231 |288 |287 |244 |1050 |

|Итого по |1 |2 |3 |4 |1050/4= |

|стратегиям |308 |230 |295 |217 |262.5 |

Если вычислить, как и положено, средние значения, дисперсии и

среднеквадратичные отклонения для четверок значений дневной выручки (по

дням, магазинам и стратегиям), то мы будем иметь следующие данные:

Таблица 3.12А

| |Дни недели |Магазины |Стратегии |

| Среднее |262.5 |262.5 |262.5 |

|Дисперсия |217.3 |646.3 |1563.3 |

|СКО |14.74 |25.42 |39.5 |

|Коэф.вариации |0.056 |0.097 |0.151 |

Уже такая примитивная статистическая обработка данных эксперимента

позволяет сделать ряд важных выводов:

( сравнительно малые значения рассеяния данных по дням недели и по

категориям магазинов в какой то мере вселяют надежду на правильный выбор

плана эксперимента;

( разброс значений по стратегиям на этом фоне, скорее всего

свидетельствует о большей зависимости дневной выручки от стратегии, чем от

дней недели или категории магазина;

( заметное отличие средних по 1-й и 3-й стратегиям от средних по 2-й

и 4-й, может быть основой для принятия решения — искать наилучшую

стратегию, выбирая между 1-й и 3-й.

В этом — прямой практический результат использования

рандомизированного плана, построения латинского квадрата.

Но это далеко не все. Теория планирования эксперимента дает, кроме

способов построения планов с учетом возможных влияний на интересующую нас

величину других факторов, еще и особые методы обработки полученных

экспериментальных данных.

Самая суть этих методов может быть представлена так.

Пусть Wis есть выручка в i-м магазине при применении к нему s-й

стратегии управления. Предполагается рассматривать эту выручку в виде суммы

составляющих

Wis = W0 + (s + (i;

{3-25}

где:

( W0 определяет среднюю выручку для всех магазинов при условии

применения к каждому из них всех стратегий по очереди с соблюдением

постоянными всех других условий, влияющих на выручку;

( W0 + (s есть средняя выручка при применении ко всем магазинам s-й

стратегии;

( (i рассматривается как "ошибка измерения" — случайная величина

с нулевым математическим ожиданием и нормальным законом распределения.

Несмотря на явную нереальность соблюдения постоянными внешних

влияющих факторов, мы можем получить оценку каждого из слагаемых Wis и

искать оптимальную стратегию через прибавку от ее применения (s с учетом

ошибки наблюдения. Можно считать доказанной "нормальность" распределения

величины (i и использовать "правило трех сигм" при принятии решений по

итогам эксперимента.

12 Методы анализа больших систем, факторный анализ

Данный параграф является заключительным и более не будет возможности

осветить еще одну особенность методов системного анализа, показать вам еще

один путь к достижению профессионального уровня в области управления

экономическими системами.

Уже ясно, что ТССА большей частью основывает свои практические методы

на платформе математической статистики. Несколько упреждая ваш рабочий

учебный план (курс математической статистики — предмет нашего

сотрудничества в следующем семестре), обратимся к современным постулатам

этой науки.

Общепризнанно, что в наши дни можно выделить три подхода к решению

задач, в которых используются статистические данные.

( Алгоритмический подход, при котором мы имеем статистические данные

о некотором процессе и по причине слабой изученности процесса его основная

характеристика (например, эффективность экономической системы) мы вынуждены

сами строить “разумные” правила обработки данных, базируясь на своих

собственных представлениях об интересующем нас показателе.

( Аппроксимационный подход, когда у нас есть полное представление о

связи данного показателя с имеющимися у нас данными, но неясна природа

возникающих ошибок — отклонений от этих представлений.

( Теоретико-вероятностный подход, когда требуется глубокое

проникновение в суть процесса для выяснения связи показателя со

статистическими данными.

В настоящее время все эти подходы достаточно строго обоснованы научно

и “снабжены” апробированными методами практических действий.

Но существуют ситуации, когда нас интересует не один, а несколько

показателей процесса и, кроме того, мы подозреваем наличие нескольких,

влияющих на процесс, воздействий — факторов, которые являются не

наблюдаемыми, скрытыми или латентными.

Наиболее интересным и полезным в плане понимания сущности факторного

анализа — метода решения задач в этих ситуациях, является пример

использования наблюдений при эксперименте, который ведет природа, Ни о

каком планировании здесь не может идти речи — нам приходится

довольствоваться пассивным экспериментом.

Удивительно, но и в этих “тяжелых” условиях ТССА предлагает методы

выявления таких факторов, отсеивания слабо проявляющих себя, оценки

значимости полученных зависимостей показателей работы системы от этих

факторов.

Пусть мы провели по n наблюдений за каждым из k измеряемых

показателей эффективности некоторой экономической системы и данные этих

наблюдений представили в виде матрицы (таблицы).

Матрица исходных данных E[n(k]

{3-26}

|E 11 |E12 |… |E1i |… |E1k |

|E 21 |E22 |… |E2i |… |E2k |

|… |… |… |… |… |… |

|E j1 |Ej2 |… |Eji |… |Ejk |

|… |… |… |… |… |… |

|E n1 |En2 |… |Eni |… |Enk |

Пусть мы предполагаем, что на эффективность системы влияют и другие —

ненаблюдаемые, но легко интерпретируемые (объяснимые по смыслу, причине и

механизму влияния) величины — факторы.

Сразу же сообразим, что чем больше n и чем меньше таких число

факторов m (а может их и нет вообще!), тем больше надежда оценить их

влияние на интересующий нас показатель E.

Столь же легко понять необходимость условия m < k, объяснимого на

простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с

использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на

обнаружение более пяти “новых”, легко объяснимых, но неизмеряемых признаков

у таких предметов, даже если мы “испытаем” очень большое их количество.

Вернемся к исходной матрице наблюдений E[n(k] и отметим, что перед

нами, по сути дела, совокупности по n наблюдений над каждой из k

случайными величинами E1, E2, … E k. Именно эти величины “подозреваются”

в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности.

Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой

разброса случайной величины E i служит ее дисперсия, определяемая суммой

квадратов всех зарегистрированных значений этой величины ((Eij)2 и ее

средним значением (суммирование ведется по столбцу).

Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений,

т.е. вместо Ei j будем использовать случайные величины

Xij = [pic],

{3-27}

то мы преобразуем исходную матрицу в новую

X[n(k]

{3-28}

|X 11 |X12 |… |X1i |… |X1k |

|X 21 |X22 |… |X2i |… |X2k |

|… |… |… |… |… |… |

|X j1 |Xj2 |… |Xji |… |Xjk |

|… |… |… |… |… |… |

|X n1 |Xn2 |… |Xni |… |Xnk |

Отметим, что все элементы новой матрицы X[n(k] окажутся

безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xij

составит, к примеру, +2, то это будет означать только одно - в строке j

наблюдается отклонение от среднего по столбцу i на два

среднеквадратичных отклонения (в большую сторону).

Выполним теперь следующие операции.

( Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и разделим результат

на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1

, т.е. D1. Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех

наблюдаемых (но уже нормированных) величин.

( Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n)

для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1). То, что мы теперь получим,

называется ковариацией C12 случайных величин X1 , X2 и служит мерой их

статистической связи.

( Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в

результате получим еще одну, квадратную матрицу C[k(k], которую принято

называть ковариационной.

Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин

Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k).

Ковариационная матрица C[k(k]

{3-29}

|D1 |C12 |C13 |… |… |C1k |

|C21 |D2 |C23 |… |… |C2k |

|… |… |… |… |… |… |

|Cj1 |Cj2 |… |Cji |… |Cjk |

|… |… |… |… |… |… |

|Cn1 |Cn2 |… |Cni |… |Dk |

Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только

ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице

{3-29} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или

корреляционную матрицу

R [k(k]

{3-30}

|1 |R12 |R13 |… |… |R1k |

|R21 |1 |R23 |… |… |R2k |

|… |… |… |… |… |… |

|Rj1 |Rj2 |… |Rji |… |Rjk |

|… |… |… |… |… |… |

|Rn1 |Rn2 |… |Rni |… |1 |

в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются

обычными коэффициентами парной корреляции.

Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг

от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k(k] диагональной, с единицами в

главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то

наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили

подтверждение.

Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы

— о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его

влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких

факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?

Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В

его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического

моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).

Дальнейший ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того,

какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k(k], то

мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только

матрицей R[k(k], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом”

виде.

Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их

различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же —

установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они

обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные

переменные Ei.

Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в

следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных Zj (

j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных

переменных (суммирование по i =1…k):

Zj = ( Aj i (X i

{3-31}

и, кроме того, обладает дисперсией, такой что

D(Z1) ( D(Z2) ( … ( D(Zk).

Поиск коэффициентов Aj i (их называют весом j-й компонеты в содержании

i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет

особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода

весьма интересна и на ней стоит задержаться.

Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2(2] может

рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном

пространстве, а такая же матрица размером [k(k]— как описание k точек k-

мерного пространства.

Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi на точно

такое же количество переменных Z j означает не что иное, как поворот k

осей многомерного пространства.

“Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия

вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихся k-1

осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д.

Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по

очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший

“туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то

постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и

сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и

“аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере

для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k(k].

Если коэффициенты Aj i найдены, то можно вернуться к основным

переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде

(суммирование по j=1…k)

X i = ( Aji(Z j .

{3-32}

Отыскание матрицы весов A[k(k] требует использования ковариационной

матрицы и корреляционной матрицы.

Таким образом, метод главных компонент отличается прежде все тем, что

дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения

своеобразна.

( Мы решаем задачу о наличии ровно стольких факторов, сколько у нас

наблюдаемых переменных, т.е. вопрос о нашем согласии на меньшее число

латентных факторов невозможно поставить;

( В результате решения, теоретически всегда единственного, а

практически связанного с громадными вычислительными трудностями при разных

физических размерностях основных величин, мы получим ответ примерно такого

вида — фактор такой-то (например, привлекательность продавцов при анализе

дневной выручки магазинов) занимает третье место по степени влияния на

основные переменные.

Этот ответ обоснован — дисперсия этого фактора оказалась третьей по

крупности среди всех прочих. Всё… Больше ничего получить в этом случае

нельзя. Другое дело, что этот вывод оказался нам полезным или мы его

игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход!

Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в

случае применения собственно факторного анализа. Здесь каждая реальная

переменная рассматривается также как линейная комбинация ряда факторов Fj ,

но в несколько необычной форме

X i = ( B ji ( Fj + ( i.

{3-33} причем суммирование

ведется по j=1…m , т.е. по каждому фактору.

Здесь коэффициент Bji принято называть нагрузкой на j-й фактор со

стороны i-й переменной, а последнее слагаемое в {3-33} рассматривать как

помеху, случайное отклонение для Xi. Число факторов m вполне может быть

меньше числа реальных переменных n и ситуации, когда мы хотим оценить

влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов), здесь вполне

допустимы.

Обратим внимание на само понятие “латентный”, скрытый, непосредственно

не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет эталона вежливости,

образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим “измерить”

их — применив соответствующую шкалу для таких признаков, разработав тесты

для оценки таких свойств по этой шкале и применив эти тесты к тем же

продавцам. Так в чем же тогда “ненаблюдаемость”? А в том, что в процессе

эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все

эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные,

усредненные, полученные совсем не в “рабочих” условиях данные.

Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что

результат спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — “сила

толчковой ноги”. Да, это фактор можно измерить и в обычных физических

единицах (ньютонах или бытовых килограммах), но когда?! Не во время же

прыжка на соревнованиях!

А ведь именно в это, рабочее время фиксируются статистические данные,

накапливается материал для исходной матрицы.

Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного

анализа простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов

в области факторного анализа — вообще невозможно). Поэтому постараемся

разобраться в этом, используя достаточно сложный, но, к счастью,

доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной

или матричной алгебры.

До того как станет понятной необходимость в таком аппарате,

рассмотрим так называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее

основана на представлении модели факторного анализа {3-33} в матричном

виде

X [k(1] = B [k(m] ( F [m(1] + ( [k(1]

{3-34}

и на последующем доказательстве истинности выражения

R [k(k] = B [k(m] ( B*[m(k],

{3-35}

для “идеального” случая, когда невязки ( пренебрежимо малы.

Здесь B*[m(k] это та же матрица B [k(m], но преобразованная

особым образом (транспонированная).

Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в

школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы

уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет

говорит нам, что нам понадобится найти k(m неизвестных элементов матрицы

нагрузок, в то время как только около k2 / 2 известных коэффициентов

корреляции. Некоторую “помощь” оказывает доказанное в теории факторного

анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например

R12) и набором соответствующих нагрузок факторов:

R12 = B11 ( B21 + B12 ( B22 + … + B1m ( B2m .

{3-36}

Таким образом, нет ничего удивительного в том утверждении, что

факторный анализ (а, значит, и системный анализ в современных условиях) —

больше искусство, чем наука. Здесь менее важно владеть “навыками” и крайне

важно понимать как мощность, так и ограниченные возможности этого метода.

Есть и еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную

подготовку в области факторного анализа — необходимость быть

профессионалом в “технологическом” плане, в нашем случае это, конечно же,

экономика.

Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли

возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и

эффективно управлять экономическими системами на базе решений, найденных с

помощью факторного анализа.

Не следует обольщаться вульгарными обещаниями популяризаторов

факторного анализа, не следует верить мифам о его всемогущности и

универсальности. Этот метод “на вершине” только по одному показателю —

своей сложности, как по сущности, так и по сложности практической

реализации даже при “повальном” использовании компьютерных программ. К

примеру, есть утверждения о преимуществах метода главных компонент —

дескать, этот метод точнее расчета нагрузок на факторы. По этому поводу

имеется одна острота известного итальянского статистика Карло Джинни, она в

вольном пересказе звучит примерно так: “ Мне надо ехать в Милан, и я куплю

билет на миланский поезд, хотя поезда на Неаполь ходят точнее и это

подтверждено надежными статистическими данными. Почему? Да потому, что мне

надо в Милан…”.

4 От автора

Выражая благодарность каждому, кто дочитал до этого места или

прослушал все лекции и посетил все семинары, автор считает своим долгом

сделать ряд пояснений, раскрыть свою позицию и свои взгляды на курс “Основы

теории систем и системного анализа”.

( Место курса ТССА в ряду учебных дисциплин специальности “Учет и

аудит” обусловлено прежде всего общим учебным планом, в первую очередь —

разумной дисцпозицией всех дисциплин, с учетом их содержания и отводимого

числа часов. Анализ (разумеется — системный!) общего рабочего плана

специальности показывает, что курс ТССА должен излагаться после курса

“Высшая математика” или, по крайней мере, в том семестре, в котором

излагаются вопросы матричной алгебры. Кроме того, слушатели должны иметь

представления о сути методов математической статистики, элементарных

положениях теории вероятностей и иметь хотя бы начальные навыки обработки

статистических данных. Отсюда второй вывод — данному курсу должно

предшествовать изучение хотя бы введения в математическую статистику (в

объеме не менее 2 час. лекций и 1 часа семинаров в неделю).

( Курс ТССА является теоретической и, главное, методолгической

основой большинства специальных, экономических дисциплин (если, конечно,

они излагаются на уровне современных информационных технологий). Поэтому

данный курс должен читаться до таких дисциплин как “Экономическая

статистика”, “Экономическо-математические методы и модели”, “Эконометрия”,

“Экономический риск” и т.д.

( Несомненна целесообразность связей курса ТССА с такими дисциплинами

как “Компъютерная техника и программирование”, а также

“Информационные системы учета”. Первая из них может считаться необходимой

базой для знакомства слушателей с практикой решения задач системного

анализа на ЭВМ, вторая — может служить естественным продолжением ТССА в

такой специфической области как информатика.

( И, наконец, — о данном материале. Решение о необходимости его

создания было принято кафедрой не только в связи с известными, временными

трудностями только что созданного ВУЗа в вопросах обеспечения учебными и

методическими пособиями. Сыграли роль и предвидимые кафедрой трудности

восприятия курса слушателями, не имеющими “платформы знаний” в области

статистики и необходимых вопросов математики.

Всё это и обусловило столь нестандартный, причудливый подход к

изложению данного курса (1 час лекций в неделю и 1 час семинаров): основные

узловые точки, фундаментальные понятия излагались на лекциях и, затем,

движение по таким же вопросам продолжалось на семинарах, с акцентом на

практических примерах.

( В заключение несколько слов о роли “практических” занятий по

данному курсу. По мнению автора эти занятия могут быть полезны только в

чистом виде “семинара” (группового занятия с коллективным обсуждением

проблем системного анализа), но при этом не занимать половину аудиторного

времени.

Профессор кафедры

информационных систем

и высшей математики ИДА

Г.И.Корнилов

12.12.96

5 Литература

1 Теория систем и системный анализ

Общие вопросы системного анализа

|Методы поиска экстремума |Уайлд Д.Дж. |

|Наука об управлении. Байесовский подход |Моррис У. |

| Введение в минимакс |Демьянов В.Ф., … |

|Целочисленные методы оптимизации |Саати Т. |

|Численные методы оптимизации |Полак Э. |

|Методы оптимизации - вводный курс |Банди Б. |

Системы массового обслуживания

|Элементы теории массового обслуживания |Саати Т.Л. |

|Очереди с приоритетами |Джейсуол Н. |

Экономические системы

|Математическая экономика |Аллен Р. |

|Теория линейных экономических моделей |Гейл Д. |

|Экономическая теория и исследование операций|Баумоль У. |

|Применение математики в экономических |Монография |

|исследованиях |в 3 томах |

|Введение в экономическую кибернетику |Ланге О. |

|Экономико-математические модели |Канторович Л.В. |

|Основы экономической кибернетики |Кобринский Н.Е. |

|Теория игр и экономическое поведение |Нейман Дж., |

| |Моргенштерн О. |

|Математика-управление-экономика |Моисеев Н.Н. |

|Критерии математической статистики в |Головач А.В., … |

|эко-номических исследованиях | |

|Комбинаторные планы в задачах медицины, |Маркова Е.В., |

|финансов и экономики |Лисенков А.Н. |

|Многомерные статист. методы экономики |Болч Б.У., Хуань К.Д. |

|Байесовские методы в эконометрии |Зельнер А. |

|Эконометрия структурных изменений |Пуарье Д. |

2 Общие вопросы математики

Комбинаторика

|Введение в комбинаторный анализ |Риордан Дж. |

|Прикладная комбинаторная математика |Беккенбах Э.(ред.) |

|Комбинаторика |Виленкин Н.Я. |

|Математическое открытие |Пойа Д. |

Теория вероятностей

|Сборник задач по теории вероятностей, |Свешников А.А. |

|математической статистике и случайным | |

|функциям | |

|Вероятность |Мостеллер Ф. |

|Теория вероятностей |Прохоров Ю.В., |

| |Розанов Ю.А. |

Теория игр

|Матричные игры |Воробьев Н.Н.(ред.) |

|Игры и решения |Льюс Р., Райфа Х. |

|Бесконечные антагонистические игры |Воробьев Н.Н. (ред) |

|Стратегические игры |Дрешер М. |

|Математические методы в теории игр, |Карлин С. |

|программировании и экономике | |

|Позиционные игры |Воробьев Н.Н. (ред.) |

|Игровые задачи о встрече движений |Красовский Н.Н. |

|Теория игр |Оуэн Г. |

Математическое программирование

|Линейное программирование |Гасс С. |

| Элементы линейной алгебры и линейного |Карпелевич Ф.И. |

|программирования |Садовский Л.Е. |

|Динамическое программирование и современная|Беллман Р., |

|теория управления |Калаба Р. |

|Геометрическое программирование |Даффин Р. и др. |

3 Математическая статистика

Общие вопросы

|Метод наименьших квадратов |Линник Ю.В. |

|Теория распределений |Кендалл М.,СтьюартА. |

|Математическая статистика | Уилкс С. |

|Основные понятия мат.статистики |Барра Ж.-Р. |

|Математические методы статистики |Крамер Г. |

|Теоретическая статистика |Кокс Д., Хинкли Д. |

Статистическое моделирование

|Статистические модели в инженерных задачах|Хан Г., Шапиро С. |

| Стохастическая аппроксимация |Вазан М. |

|Метод Моте-Карло и смежные вопросы |Ермаков С.М. |

|Статистические методы в имитационном |Клейнен Дж. |

|моделировании | |

Статистические выводы и решения

|Элементарная теория статистических решений |Чернов Г., Мозес Л. |

|Статистические выводы и связи |Кендалл М., |

| |Стьюарт А. |

|Оптимальные статистические решения |Де Гроот М. |

|Теория статистических выводов |Закс Л. |

|Статистическое оценивание |Закс Л. |

|Анализ решений |Райфа Г. |

|Теория полезности для принятия решений |Фишберн П. |

|Проверка значимости |Колкот Э. |

|Введение в теорию статистически ненадежных |Федулов А.А., … |

|решений | |

|Принятие решений при многих критериях |Гафт М.Г. |

|Принятие решений при многих критериях |Кини Р.Л., Райфа Х. |

|Проверка статистических гипотез |Леман Э. |

|Статистические выводы, основанные на |Хеттманспергер Т. |

|рангах | |

|Прикладная теория статистических решений |Райфа Г.,Шлейфер Р. |

|Статистическое оценивание и проверка |Петрович М.Л., |

|гипотез на ЭВМ |Давидович М.И. |

Статистический эксперимент

|Введение в планирование эксперимента |Финни Д. |

|Теория эксперимента |Налимов В.В. |

|Теория оптимального эксперимента |Федоров В.В. |

|Теория инженерного эксперимента |Шенк Х. |

Статистический анализ

|Последовательный анализ |Вальд А. |

|Статистический анализ последовательностей |Кокс Д., |

|событий |Льюис П. |

|Анализ временных рядов: |Бокс Дж., |

|Прогноз и управление |Дженкинс Г. |

|Статистический последовательный анализ |Ширяев А.Н. |

|Многомерный статистический анализ и |Кендалл М., |

|временные ряды |Стьюарт А. |

|Дисперсионный анализ |Шеффе Г. |

|Многомерный дисперсионный анализ |Аренс Х., Лейтер Ю. |

|Нелинейное оценивание параметров |Бард Й. |

|Стохастические модели социальных процессов |Бартоломью Д. |

|Математическая статистика вып.1,2 |Бикел П., Доксам М. |

|Методы анализа данных |Дидэ Э. , … |

|Прикладной регрессионный анализ кн. 1,2 |Дрейпер Н., Смит Г. |

|Факторный анализ |Иберла К. |

|Статический анализ неэкспериментальных |Лимер Э. |

|данных | |

|Анализ данных и регресия вып.1,2 |МостеллерФ.ТьюкиДж |

|Динамическая регрессия: теория и алгоритмы |Песаран М., Слейтер Л. |

|Анализ данных типа времени жизни |Кокс Д.Р., Оукс Д. |

|Факторный анализ с обобщениями |Благуш П. |

Методы непараметрической статистики

|Теория ранговых критериев |Гаек Я., Шидак З. |

|Математические методы в социальных науках |Лазарсфельд П., |

| |Генри Н. |

|Ранговые корреляции |Кэндэл М. |

|Непараметрические методы статистики |Тюрин Ю.Н. |

|Справочник по непараметрической статистике |Рунион Р. |

|Непараметрические методы статистики |Холлендер М., Вулф Д. |

|Многомерное шкалирование |Дейвисон М. |

Вопросы прикладной статистики

|Таблицы математической статистики |Большев Л.Н., |

| |Смирнов Н.В. |

|Теория вероятностей, математическая |Шторм Р. |

|статистика, статистический контроль | |

|Прикладная Статистика: Основы моделирования|Айвазян С.А. и др. |

|и обработка данных | |

|Вычислительные алгоритмы в прикладной |Мэйндоналд Дж. |

|статистике | |

|Справочник по прикладной статистике т.1 |Ллойд Э., Ледерман У. |

|Справочник по прикладной статистике т.2 |Ллойд Э., Ледерман У. |

Экспертные оценки

|Математико-статистические методы |Бешелев С.Д., |

|экспертных оценок |Гурвич Ф.Г. |

|Руководство по экспертным системам |Уотермен Д. |

|Экспертные оценки в педаг. исследованиях |Черепанов В.С. |

Оглавление

1. Особенности системного подхода к решению задач управления 1-2

1.1 Общие понятия теории систем и системного анализа 1-2

1.2 Сущность и принципы системного подхода 1-3

1.3 Проблемы согласования целей 1-5

1.4 Проблемы оценки связей в системе 1-6

1.5 Пример системного подхода к задаче управления 1-8

1.6 Моделирование как метод системного анализа 1-10

1.7 Процессы принятия управляющих решений 1-13

2. Основные понятия математической статистики 2-15

2.1 Случайные события и величины, их основные характеристики 2-15

2.2 Взаимосвязи случайных событий 2-20

2.3 Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин 2-

21

2.4 Методы непараметрической статистики 2-24

2.5 Корреляция случайных величин 2-26

2.6 Линейная регрессия 2-29

2.7 Элементы теории статистических решений 2-29

3. Этапы системного анализа 3-31

3.1 Общие положения 3-31

3.2 Содержательная постановка задачи 3-31

3.3 Построение модели изучаемой системы в общем случае 3-32

3.4 Моделирование в условиях определенности 3-33

3.5 Наличие нескольких целей — многокритериальность системы 3-36

3.6 Экспертные оценки, ранговая корреляция и конкордация 3-38

3.7 Моделирование системы в условиях неопределенности 3-42

3.8 Моделирование систем массового обслуживания 3-43

3.9 Моделирование в условиях противодействия, игровые модели 3-46

3.10 Моделирование в условиях противодействия, модели торгов 3-51

3.11 Методы анализа больших систем, планиров. экспериментов 3-56

3.12 Методы анализа больших систем, факторный анализ 3-63

4. От автора 4-71

5. Литература 5-73

5.1 Теория систем и системный анализ 5-73

5.2 Общие вопросы математики 5-73

5.3 Математическая статистика 5-74

Страницы: 1, 2, 3