Теория организации и системный анализ

для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило

определения вероятности попадания в диапазон очень просто — надо

просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или

проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.

2 Взаимосвязи случайных событий

Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически

удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не

произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X) и иметь ввиду,

что вероятность того, что событие не произойдет, составляет

P(X) = 1 - P(X).

{2 - 6}

Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий (тем более

в сложных системах с развитыми связями между элементами и подсистемами) —

это понимание способа определения вероятности одновременного

наступления нескольких событий или, короче, — совмещения событий.

Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых

составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос — это события

независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи между

ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла.

Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых

событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события

независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное

их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 ( 0.2 = 0.16 или 16%

.

Итак — вероятность наступления двух независимых событий определяется

произведением их вероятностей:

P(XY) = P(X) [pic]P(Y).

{2 - 7}

Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность

события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью

P(X/Y), считая при этом P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь же

простые рассуждения приводят к так называемой формуле Байеса

P(X/Y)[pic]P(Y) = P(Y/X)[pic]P(X)

{2 - 8}

где слева и справа записано одно и то же — вероятности одновременного

наступления двух "зависимых" или коррелированных событий.

Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события

X:

P(X) = P(X/Y)[pic]P(Y) + P(X/Y)[pic]P(Y),

{2 - 9}

означающей, что данное событие X может произойти либо после того как

событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло (Y) — третьего

не дано!

Формулы Байеса или т. н. байесовский подход к оценке вероятностных

связей для простых событий и дискретно распределенных СВ играют решающую

роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих

решений или в условиях противо-действия со стороны природы, или других

больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия

управления, основанная на прогнозе т. н. апостериорной (послеопытной)

вероятности события

P(X/Y) [pic][pic].

{2 - 10}

Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если

одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное

тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач

оценки тесноты связей — корреляционном анализе. Если же взаимосвязь

событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем

оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над

процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов

стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений

вероятностей.

Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе

определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых

шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта

управления другими системами. Но по мере "жизни" системы нельзя упускать

из виду возможность "коррекции" управления - использования всего

накапливаемого опыта.

3 Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин

Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые

стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.

Эти распределения иногда называют "теоретическими", поскольку для них

разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы

связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.

Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя

"штат" их за последние 30..50 лет практически не пополнился. Необходимость

знакомства с этими распределениями для специалистов вашего профиля

объясняется тем, что все они соответствуют некоторым "теоретическим"

схемам случайных (большей частью — элементарных) событий.

Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и

обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям

априорной оценки законов распределений этих событий или величин. Пусть,

к примеру, мы каким-то образом установили математическое ожидание

спроса некоторого товара. Но этого мало - надо хотя бы оценить степень

колебания этого спроса, ответить на вопрос — а какова вероятность того,

что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт

принадлежности данной случайной величины к такому классическому

распределению как т. н. нормальное, то тогда задача оценки диапазона,

доверия к нему (доверительных интервалов) была бы решена безо всяких

проблем.

Доказано, например, что с вероятностью более 95% случайная величина

X с нормальным законом распределения лежит в диапазоне — математическое

ожидание Mx плюс/минус три среднеквадратичных отклонения SX.

Так вот — все дело в том к какой из схем случайных событий

классического образца ближе всего схема функционирования элементов

вашей большой системы. Простой пример - надо оценить показатели оплаты за

услуги предоставления времени на междугородние переговоры - например, найти

вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно N переговоров,

если заранее известно среднее число поступающих в минуту заказов.

Оказывается, что схема таких случайных событий прекрасно укладывается в т.

н. распределение Пуассона для дискретных случайных величин. Этому

распределению подчинены почти все дискретные величины, связанные с так

называемыми "редкими" событиями.

Далеко не всегда математическая оболочка классического закона

распределения достаточно проста. Напротив — чаще всего это сложный

математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в

этом, тем более при "повальной" компьютеризации всех областей деятельности

человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях свойства всех

или хоть какой-то части классических распределений - достаточно иметь в

виду саму возможность воспользоваться ими.

Из личного опыта - очень давно, в до_компьютерную эру автору этих строк

удалось предложить метод оценки степени надежности энергоснабжения, найти

по сути дела игровой метод принятия решения о необходимости затрат на

резервирование линий электропередач в условиях неопределенности — игры с

природой.

Таким образом, при системном подходе к решению той или иной задачи

управления (в том числе и экономического) надо очень взвешено отнестись

к выбору элементов системы или отдельных системных операций. Не всегда

"укрупнение показателей" обеспечит логическую стройность структуры системы

— надо понимать, что заметить близость схемы событий в данной системе к

схеме классической чаще всего удается на самом "элементарном" уровне

системного анализа.

Завершая вопрос о распределении случайных величин обратим внимание на

еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного

единственного показателя — математического ожидания данной случайной

величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об этом

показателя.

В самом деле, пусть нам дано т. н. выборочное распределение случайной

величины X (например — ежедневной выручки в $) в виде 100 наблюдений за

этой величиной. Пусть мы рассчитали среднее Mx и оно составило $125 при

колебаниях от $50 до $200. Попутно мы нашли SX, равное $5. Теперь уместен

вопрос: а насколько правдоподобным будет утверждение о том, что в

последующие дни выручка составит точно $125? Или будет лежать в

интервале $120..$130? Или окажется более некоторой суммы — например,

$90?

Вопросы такого типа чрезвычайно остры - если это всего лишь элемент

некоторой экономической системы (один из многих), то выводы на финише

системного анализа, их достоверность, конечно же, зависят от ответов на

такие вопросы.

Что же говорит теория, отвечая на эти вопросы? С одной стороны очень

много, но в некоторых случаях — почти ничего. Так, если у вас есть

уверенность в том, что "теоретическое" распределение данной случайной

величины относится к некоторому классическому (т. е. полностью описанному

в теории) типу, то можно получить достаточно много полезного.

( С помощью теории можно найти доверительные интервалы для данной

случайной величины. Если, например, уже доказано (точнее — принята

гипотеза) о нормальном распределении, то зная среднеквадратичное

отклонение можно с уверенностью в 5% считать, что окажется вне

диапазона (Mx - 3[pic]Sx)......(Mx [pic] 3[pic]Sx) или в нашем примере

выручка с вероятностью 0.05 будет $140. Надо смириться со

своеобразностью теоретического вывода — утверждается не тот факт, что

выручка составит от 90 до 140 (с вероятностью 95%), а только то, что

сказано выше.

( Если у нас нет теоретических оснований принять какое либо

классическое распределение в качестве подходящего для нашей СВ, то и здесь

теория окажет нам услугу — позволит проверить гипотезу о таком

распределении на основании имеющихся у нас данных. Правда -

исчерпывающего ответа "Да" или "Нет" ждать нечего. Можно лишь получить

вероятность ошибиться, отбросив верную гипотезу (ошибка 1 рода) или

вероятность ошибиться приняв ложную (ошибка 2 рода).

( Даже такие "обтекаемые" теоретические выводы в сильной степени

зависят от объема выборки (количества наблюдений), а также от "чистоты

эксперимента" — условий его проведения.

4 Методы непараметрической статистики

Использование классических распределений случайных величин обычно

называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том,

что интересующая нас СВ (дискретная или непрерывная) имеет вероятности,

вычисляемые по некоторым формулам или алгоритмам. Однако не всегда у нас

имеются основания для этого. Причин тому чаще всего две:

( некоторые случайные величины просто не имеют количественного

описания, обоснованных единиц измерения (уровень знаний, качество

продукции и т. п.);

( наблюдения над величинами возможны, но их количество слишком мало

для проверки предположения (гипотезы) о типе распределения.

В настоящее время в прикладной статистике все большей популярностью

пользуются методы т. н. непараметрической статистики — когда вопрос о

принадлежности распределения вероятностей данной величины к тому или

иному классу вообще не подымается, но конечно же — задача оценки самой

СВ, получения информации о ней, остается.

Одним из основных понятий непараметрической статистики является понятие

ШКАЛЫ или процедуры шкалирования значений СВ. По своему смыслу процедура

шкалирования суть решение вопроса о "единицах измерения" СВ. Принято

использовать четыре вида шкал.

Nom. Первой из них рассмотрим НОМИНАЛЬНУЮ шкалу — применяемую к тем

величинам, которые не имеют природной единицы измерения. Если некоторая

величина может принимать на своей номинальной шкале значения X, Y или Z, то

справедливыми считаются только выражения типа: (X#Y), (X#Z), (X=Z), а

выражения типа (X>Y), (X или | | | | | | |Сумма |

|Эксперты |1 |2 |3 |4 |5 |6 | |

| A | | | | | | | 21 |

| |5 |4 |1 |6 |3 |2 | |

| B | | | | | | |21 |

| |2 |3 |1 |5 |6 |4 | |

| C | | | | | | | 21 |

| |4 |1 |6 |3 |2 |5 | |

| D | | | | | | |21 |

| |4 |3 |2 |3 |2 |5 | |

| Сумма рангов| | 11| 10 |19 |12 | 17 |84 |

| |15 | |1 |6 |3 |5 | |

|Сум. ранг |4 |2 | | | | | |

| Отклонение | | | | | |+3 | 0 |

|суммы |+1 |-3 |-4 |+5 |-2 |9 |64 |

|от среднего |1 |9 |16 |25 |4 | | |

Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по

14 на фактор.

Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы

рангов для любого фактора определится выражением

( [pic] [pic]

{3 - 10}

Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по

отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение

суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы.

Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения

разумно использовать квадраты значений.

В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае

эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех

экспертов по отношению ко всем факторам:

Smax[pic] [pic]

{3 - 11}

М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент

конкордации, определяемый как

[pic] [pic] [pic]

{3 - 12}

В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около

0.229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с

вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными. Дело

в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность

просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная

вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S= 143.3 , что намного

больше 64.

В заключение вопроса об особенностях метода экспертных оценок в

системном анализе отметим еще два обстоятельства.

[pic]В первом примере мы получили результирующие ранги 10 целей

функционирования некоторой системы. Как воспользоваться этой результируюзей

ранжировкой? Как перейти от ранговой (Ord) шкалы целей к шкале весовых

коэффициентов — в диапазоне от 0 до 1?

Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3

имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. д., а сумма рангов составляет 55,

то весовой коэффициент для цели 3 будет наибольшим и сумма весов всех 10

целей составит 1.

Вес цели придется определять как

(11-1) / 55 для 3 цели;

(11-2) / 55 для 8 цели и т. д.

[pic]При использовании групповой экспертной оценки можно не только

выяснять мнение экспертов о показателях, необходимых для системного

анализа. Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод

Дельфы (от легенды о дельфийском оракуле).

Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило — анонимно.

После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и ее

обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед очередным

этапом без указания авторов обоснований.

Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить

представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений

экспертов. В качестве “побочного эффекта” можно составить мнение о

профессиональности каждого эксперта.

7 Моделирование системы в условиях неопределенности

Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных

больших систем не обойтись без учета “состояний природы” — воздействий

стохастического типа, случайных величин или случайных событий. Это могут

быть не только внешние воздействия на систему в целом или на отдельные ее

элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют такую же,

“случайную” природу.

Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы и уж

тем более внутри самого элемента (связь “вход-выход”) является основной

причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно бессмысленную

работу, получить в качестве рекомендаций по управлению системой заведомо

непригодные решения.

Выше уже оговаривалось, что в таких случаях вместо самой случайной

величины X приходится использовать ее математическое ожи-дание Mx. Все

вроде бы просто — не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши

ожидания? Какова уверенность или какова вероятность ошибиться?

Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно — но для этого

надо иметь информацию о законе распределения СВ. Вот и приходится на данном

этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься статистического

исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы:

( А не является ли данный элемент системы и производимые им операции

“классическими”?

( Нет ли оснований использовать теорию для определения типа

распределения СВ (продукции, денег или информационных сообщений)? Если

это так — можно надеяться на оценки ошибок при принятии решений, если же

это не так, то приходится ставить вопрос иначе.

( А нельзя ли получить искомое распределение интересующей нас СВ из

данных эксперимента? Если этот эксперимент обойдется дорого или физически

невозможен, или недопустим по моральным причинам, то может быть “для рагу

из зайца использовать хотя бы кошку” — воспользоваться апостериорными

данными, опытом прошлого или предсказаниями на будущее, экспертными

оценками?

Если и здесь нет оснований принимать положительное решение, то можно

надеяться еще на один выход из положения.

Не всегда, но все же возможно использовать текущее состояние уже

действующей большой системы, ее реальную “жизнь” для получения глобальных

показателей функционирования системы.

Этой цели служат методы планирования эксперимента, теоретической и

методологической основой которых является особая область системного анализа

— т. н. факторный анализ, сущность которого будет освещена несколько позже.

8 Моделирование систем массового обслуживания

Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать т.

н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть

анализируется система технического обслужи-вания автомобилей, состоящая из

некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций

(элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две типичных ситуации:

( число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают

очереди и за задержки в обслуживании приходится платить;

( на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится

учитывать потери, вызванные простоем станции.

Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в

определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине

очередей и потерями по причине простоя станций. Такого соотношения, при

котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным.

Так вот, специальный раздел теории систем — теория массового

обслуживания, позволяет

( использовать методику определения средней длины очереди и среднего

времени ожидания заказа в тех случаях, когда скорость поступления заказов и

время их выполнения заданы;

( найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в

очереди и издержками простоя станций обслуживания;

( установить оптимальные стратегии обслуживания.

Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче

системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых

рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности

заказов (а значит — времени их исполнения).

Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта

нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их

численности и сложности, найти статистические показатели этих величин,

выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь

после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя система

при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели (значение

суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях

управления.

Очень редко при этом используется сама система, производится

натуральный эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с

риском потерь заказчиков или неоправданными затратами на создание

дополнительных станций обслуживания.

Поэтому следует знать о таком особом подходе к вопросу моделирования

систем как метод статистических испытаний или метод Монте Карло.

Вернемся к примеру с анализом работы станций обслуживания. Пусть у нас

всего лишь одна такая станция и заранее известны:

( — средняя скорость поступления заказов и

( — средняя скорость выполнения заказов (штук в единицу времени), и

таким образом задана величина ( = ( / ( — интенсивность нагрузки

станции.

Уже по этим данным оказывается возможным построить простейшую модель

системы. Будем обозначать X число заказов, находящихся в очереди на

обслуживании в единицу времени, и попытаемся построить схему случайных

событий для определения вероятности P(X).

Событие — в очереди находятся точно X заказов может наблюдаться в

одной из четырех ситуаций.

( В очереди было X заказов (A1), за это время не поступило ни одного

нового заказа (A2) и за это же время не был выполнен ни один заказ из

находящихся в работе (A3).

( В очереди было X - 1 заказов (B1), за это время поступил один новый

заказ (B2) и за это же время не был выполнен ни один заказ из находящихся в

работе (B3).

( В очереди было X + 1 заказов (C1), за это время не поступило ни

одного нового заказа (C2) и за это же время был выполнен один заказ из

находящихся в работе (C3).

( В очереди было X заказов (D1), за это время поступил один новый

заказа (D2) и за это же время был выполнен один заказ из находящихся в

работе (D3).

Такая схема событий предполагает особое свойство "технологии" нашей

системы — вероятность поступления более одного заказа за рассматриваемую

единицу времени и вероятность выполнения более одного заказа за то же

время считаются равными 0.

Это не такое уж "вольное" допущение — длительность отрезка времени

всегда можно уменьшить до необходимых пределов.

А далее все очень просто. Перемножая вероятности событий A1..3, B1..3,

C1..3, D1..3, мы определим вероятности каждого из вариантов интересующего

нас события — в течение заданного нами интервала времени длина очереди не

поменялась..

Несложные преобразования суммы вероятностей всех четырех вариантов

такого события приведут нас к выражению для вероятности длины очереди в X

заказов:

P(X) = (x ( (1-(),

{3-13}

а также для математического ожидания длины очереди:

MX = ( / (1-().

{3-14}

Оценить полезность такого моделирования позволят простые примеры.

Пусть мы решили иметь всего лишь 50%-ю интенсивность нагрузки станции, то

есть вдвое "завысили" ее пропускную способность по отношению к потоку

заказов.

Тогда для ( = 0.5 имеем следующие данные:

Таблица 3.4

|Очередь | 0| 1 | 2 | 3 |4 и более |

|Вероятность| 0.5| 0.25| 0.125 | 0.0625| 0.0625 |

Обобщим полученные результаты:

( вероятность отсутствия очереди оказалась точно такой же, как и ее

наличия;

( очередь в 4 и более заказа практически невероятна;

( математическое ожидание очереди составляет ровно 1 заказ.

Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или

отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели последствий

такого решения.

Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности

нагрузки станции.

Таблица 3.5

| (| 1 /| 3| 7 / | 15 / |

| |2 |/ 4 |8 |16 |

| Mx | | | 7| 15|

| |1 |3 | | |

Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали

известной информацию только о средней скорости (ее математического

ожидания) выполнения заказов. Иными словами, мы считали время выполнения

очередного заказа независящим ни от его "содержания" (помыть автомобиль или

ликвидировать следствия аварии), ни от числа заказов, "стоящих в очереди".

В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как-то

учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто

понимает ее возможности).

Если нам представляется возможность установить не только само (

(среднюю или ожидаемую скорость обработки заказа), но и разброс этой

величины D( (дисперсию), то можно будет оценить среднее число заказов в

очереди более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!):

Mx = [pic] [pic] 0.5 ( [pic] . {3 -

15}

9 Моделирование в условиях противодействия, игровые модели

Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета

взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась

необходимость учитывать состояния природы — большей частью случайных,

стохастических воздействий на систему.

Конечно, природа не мешает (но и не помогает) процессам системы

осознанно, злонамеренно или, наоборот, поощряюще. Поэтому учет внешних

природных воздействий можно рассматривать как "игру с природой", но в этой

игре природа — не противник, не оппонент, у нее нет цели существования

вообще, а тем более — цели противодействия нашей системе.

Совершенно иначе обстоит дело при учете взаимодействий данной системы

с другими, аналогичными или близкими по целям своего функционирования. Как

известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни

больших систем-монополистов крайне редки, да и не вызывают особого

интереса с позиций теории систем и системного анализа.

Особый раздел науки — теория игр позволяет хотя бы частично разрешать

затруднения, возникающие при системном анализе в условиях противодействия.

Интересно отметить, что одна из первых монографий по этим вопросам

называлась "Теория игр и экономического поведения" (авторы — Нейман и

Моргенштерн, 1953 г., имеется перевод) и послужила своеобразным

катализатором развития методов линейного программирования и теории

статистических решений.

В качестве простого примера использования методов теории игр в

экономике рассмотрим следующую задачу.

Пусть вы имеете всего три варианта стратегий в условиях конкуренции

S1,S2 и S3 (например — выпускать в течение месяца один из 3 видов

продукции). При этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1 и

C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле

заменяющей продукцию вашей фирмы). При этом менять вид продукции в течение

месяца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту.

Пусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последствия

каждого из собственных вариантов поведения, описываемые следующей таблицей.

Таблица 3.6

| | C1 | C2 |

| S1 | -2000| + |

| | |2000 |

| S2 | -1000| +3000|

| S3 | +1000| +2000|

Цифры в таблице означают следующее:

( вы несете убытки в 2000 гривен, а конкурент имеет ту же сумму

прибыли, если вы приняли стратегию S1, а конкурент применил C1;

( вы имеете прибыль в 2000 гривен, а конкурент теряет ту же сумму,

если вы приняли S1 против C2;

( вы несете убытки в сумме 1000 гривен, а конкурент получает такую

прибыль, если ваш вариант S2 оказался против его варианта C1 , и так

далее.

Предполагается, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в

области ТССА и действуют разумно, соблюдая правила — вариант поведения

принимают один раз на весь месяц, не зная, конечно, что предпринял на этот

же месяц конкурент.

По сути дела, в чисто житейском смысле — это обычная "азартная" игра,

в которой существует конечный результат, цель игры — выигрыш.

Этой цели добивается каждый игрок, но не каждый может ее добиться.

Варианты поведения игроков можно считать ходами, а множество ходов —

рассматривать как партию.

Пусть партия состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны.

Попробуем найти этот наилучший ход сначала для вашего конкурента —

порассуждаем за него.

Так как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его

рассуждения можно промоделировать.

Вашему конкуренту вариант C2 явно невыгоден — при любом вашем ходе вы

будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. Следовательно, со стороны

вашего противника будет, скорее всего, принят вариант C1, доставляющий ему

минимум потерь.

Теперь можно порассуждать за себя. Вроде бы вариант S2 принесет нам

максимальный выигрыш в 3000 гривен, но это при условии выбора C2 вашим

конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1.

Значит наилучшее, что мы можем предпринять — выбрать вариант S3,

рассчитывая на наименьший из возможных выигрышей — в 1000 гривен.

Ознакомимся с рядом общепринятых терминов теории игр:

( поскольку в таблице игры наш возможный выигрыш всегда равен

проигрышу конкурента и наоборот, то эту специфику отображают обычно в

названии — игра с нулевой суммой;

( варианты поведения игроков-конкурентов называют чистыми стратегиями

игры, учитывая независимость их от поведения конкурента;

( наилучшие стратегии для каждого из игроков называют решением игры;

( результат игры, на который рассчитывают оба игрока (1000 гривен

прибыли для вас или столько же в виде проигрыша для конкурента) называют

ценой игры; она в игре с нулевой суммой однакова для обеих сторон;

( таблицу выигрышей (проигрышей) называют матрицей игры, в данном

случае — прямоугольной.

Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в

условиях конкуренции — не единственный способ решения задач. Очень часто

намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой

принцип поиска оптимальных игровых стратегий — принцип минимакса.

Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с

несколько видоизмененной матрицей.

| | | |

| |C1 |C2 |

| S1 | | - 4000|

| |-2000 | |

| S2 | | +3000 |

| |-1000 | |

| S3 | | +2000 |

| |+1000 | |

Таблица 3.7

Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.

( Мы никогда не выберем стратегию S1, поскольку она при любом ответе

конкурента принесет нам значительные убытки.

( Из двух оставшихся разумнее выбрать S3, так как при любом ответе

конкурента мы получим прибыль.

( Выбираем в качестве оптимальной стратегии S3.

Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими же по смыслу.

Понимая, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он

примет решение считать оптимальной для себя стратегию C1 — в этом случае он

будет иметь наименьшие убытки.

Можно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот

же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать

так:

( при стратегии S1 минимальный (min) "выигрыш" составит - 4000

гривен;

( при стратегии S2 минимальный (min) "выигрыш" составит - 1000

гривен;

( при стратегии S3 минимальный (min) выигрыш составит + 1000

гривен.

Выходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей — это

1000 гривен и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой

на ответный ход конкурента его стратегией C1. Такую стратегию и называют

стратегией MaxiMin.

Если теперь попробовать смоделировать поведение конкурента, то для

него:

( при стратегии C1 максимальный (max) проигрыш составит 1000 гривен;

( при стратегии C2 максимальный (max) проигрыш составит 2000 гривен.

Значит, наш конкурент, если он будет рассуждать здраво, выберет

стратегию C1, поскольку именно она обеспечивает наименьший (min) из

наибольших (max) проигрышей. Такую стратегию и называют стратегией MiniMax.

Легко заметить, что это одно и то же — вы делаете ход S3 в расчете на

ответ C1, а ваш конкурент — ход C1 в расчете на S3.

Поэтому такие стратегии называют минимаксными — мы надеемся на

минимум максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной

прибыли.

В двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии "противников"

совпадали, принято говорить — они соответствовали седловой точке матрицы

игры.

Метод минимакса отличается от стандартного пути логических

рассуждений таким важным показателем как алгоритмичность. В самом деле,

можно доказать, что если седловая точка существует, то она находится на

пересечении некоторой строки S и некоторого столбца C. Если число в этой

точке самое большое для данной строки и, одновременно, самое малое в данном

столбце, то это и есть седловая точка.

Конечно, далеко не все игры обладают седловой точкой, но если она

есть, то поиск ее при числе строк и столбцов в несколько десятков (а то и

сотен) по стандартному логическому плану — дело практически безнадежное без

использования компьютерных технологий.

Но, даже при использовании компьютера, писать программу для

реализации всех возможных If ... Then придется на специальных языках

программирования (например — язык Prolog). Эти языки велико-лепны для

решения логических задач, но практически непригодны для обычных вычислений.

Если же использовать метод минимакса, то весь алгоритм поиска седловой

точки займет на языке Pascal или C++ не более 5...10 строк программы.

Рассмотрим еще один простой пример игры, но уже без седловой точки.

| | C1| C2|

| |-3000 | +7000 |

|S1 | | |

| | +6000 | +1000 |

|S2 | | |

Таблица 3.8

Задача в этом случае для нас (и для нашего разумного конкурента)

будет заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию,

при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за

некоторое число ходов будет максимальным.

Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с

использованием S1, а другую половину — с S2. Конечно, мы не можем знать,

какую из своих двух стратегий будет применять конкурент, и поэтому придется

рассматривать два крайних случая его поведения.

Если наш конкурент все время будет применять C1, то для нас выигрыш

составит 0.5((-3000)+0.5((+6000) = 1500 гривен.

Если же он все время будет применять C2, то на выигрыш составит

0.5((+7000)+0.5((+1000) = 4000 гривен.

Ну, это уже повод для размышлений, для анализа. В конце концов, можно

прикинуть, а что мы будем иметь в случае применения конкурентом также

смешанной стратегии? Ответ уже готов — мы будем иметь выигрыш не менее

1500 гривен, поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты

смешанных стратегий конкурента.

Поставим вопрос в более общем виде — а существует ли наилучшая

смешанная стратегия (комбинация S1 и S2) для нас в условиях применения

смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента?

Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос утвердительно —

оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но она может

гарантировать минимум математического ожидания выигрыша. Методы поиска

таких стратегий хорошо разработаны и отражены в литературе.

Таким образом, мы снова оказались в роли ЛПР — системный подход не

может дать рецепта для безусловного получения выигрыша.

Нам и только нам, решать — воспользоваться ли рекомендацией и

применить оптимальную стратегию игры, но при этом считаться с риском

возможного проигрыша (выигрыш окажется гарантированным лишь при очень

большом числе ходов).

Завершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска

наилучшей смешанной стратегии.

Пусть мы применяем стратегию S1 с частотой (, а стратегию S2 с

частотой (1 - ().

Тогда мы будем иметь выигрыш

W(C1) = ( ( (-3000) + (1-() ( (+6000) = 6000 - 9000((

при применении конкурентом стратегии C1

или будем иметь выигрыш

W(C2) = ( ( (+7000) + (1-() ( (+1000) = 1000 + 6000((

при применении конкурентом стратегии C2.

Теория игр позволяет найти наилучшую стратегию для нас из условия

W(C1) = W(C2);

{3 - 16}

что приводит к наилучшему значению (=1/3 и математическому ожиданию

выигрыша величиной в (-3000)((1/3)+(+6000)((2/3)=3000 гривен.

10 Моделирование в условиях противодействия, модели торгов

К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием

(конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью — "правила

игры" не постоянны в одном единственном пункте — цены за то, что продается.

При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше

приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже,

заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы

моделирования ситуаций в торгах.

Наиболее часто встречаются два вида торгов:

( закрытые торги, в которых два или более участников независимо друг

от друга предлагают цены (ставки) за тот или иной объект; при этом участник

имеет право лишь на одну ставку, а ведущий торги принимает высшую (или

низшую) из предложенных;

( открытые торги или аукционы, когда два или более участников

подымают цены до тех пор, пока новой надбавки уже не предлагается.

Рассмотрим вначале простейший пример закрытых торгов. Пусть мы (A) и

наш конкурент (B) участвуем в закрытых торгах по двум объектам суммарной

стоимости C1 + C2.

Мы располагаем свободной суммой S и нам известно, что точно такой

же суммой располагает наш конкурент. При этом S< C1 + C2, то есть купить

оба объекта без торгов не удастся.

Мы должны назначить свои цены A1, A2 за первый и второй объекты в

тайне от конкурента, который предложит за них же свои цены B1, B2. После

оглашения цен объект достанется предложившему большую цену, а если они

совпали — по жребию. Предположим, что и мы и наш конкурент владеем

методом выбора наилучшей стратегии (имеем соответствующее образование).

Так вот — можно доказать, что при равных свободных суммах с нашей и с

противоположной стороны существует одна, оптимальная для обеих сторон

Страницы: 1, 2, 3