Лекция по ТТМС (моделирование систем)

Лекция по ТТМС (моделирование систем)

Глава Математическое моделирование системных

элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей

точного естес-

твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы

написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник

немецкой классической фи-

лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке

столько ис-

тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят

лет, практи-

чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 -

1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных

комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в

научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности

специалистов.

1.1. Три этапа математизации

знаний

Современная методология науки выделяет три этапа математизации

знаний: ма-

тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных,

моделирование и относительно полные математические теории.

Первый этап - это математическая, чаще всего именно

количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап

выявления и выделения чисто фе-

номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными

сигна-

лами (входами [pic]) и выходными реакциями (откликами [pic]) на уровне

целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с

объектами-оригиналами [pic]. Данный этап математизации имеет место во

всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её

эмпирического материала.

Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом

этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных,

базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и

параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из

значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап

математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций,

многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные.

Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе

математического моделирования, осуществляется попытка теоретического

воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего

исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической

модели.

Третий этап - это этап относительно полной математической теории

данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной

области. Тре-

тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и

аксиомати-

ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания

явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт

возможность преодоле-

вать узость мышления, порождаемую специализацией.

1.2. Математическое моделирование и

модель

Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный

метод позна-

вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения

явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых

объектов - матема-

тических моделей.

Под математической моделью принято понимать совокупность

соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.),

определяющих характе-

ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения -

реакции

[pic], в зависимости от параметров объекта-оригинала [pic], входных воздей-

ствий [pic], начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства

(атрибуты) объекта-оригинала [pic], которые отражают, определяют и

представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования.

Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении

одного и того же объекта-оригинала [pic] с различных точек зрения и в

различных аспектах, последний может иметь различные математичес-

кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими

моделя-

ми.

Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в

то же время строгое конструктивное определение математической модели,

сформулированное П.Дж.Коэном.

Определение 2. Математическая модель - это формальная система,

представляю-

щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил

оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств

определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание

символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами

("грамматика" и "синтак-

сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных

математичес-

ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект

математи-

ческой моделью.

Таким образом, исходя из принципиально важного значения

интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее

более подробно.

1.3. Интерпретации в математическом

моделировании

Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение,

толкование, истолко-

вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-

либо об-

разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным

симво-

лам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных

положе-

ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему,

исход-

ные положения которой определяются независимо от формальной системы.

Следова-

тельно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия

между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда

формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к

содержательной системе, т.е. ус-

тановлено что между элементами формальной системы и элементами

содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все

исходные положения фор-

мальной системы получают подтверждение в содержательной системе.

Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы

соответствует некото-

рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие

наруша-

ется, имеет место частичная интерпретация.

При математическом моделировании в результате интерпретации

задаются значе-

ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и

целостных конструкций.

Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание

интер-

претации применительно к задаче математического моделирования.

Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это

информа-

ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в

кон-

кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе

отображения

непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и

называе-

мого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных

и зна-

ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое

об-

ластью значений интерпретации.

Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из

основопола-

гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного)

модели-

рования.

Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам

(компонентам) ма-

тематического выражения, делает последнее математической моделью реального

объек-

та.

1.4. Виды и уровни

интерпретаций

Создание математической модели системного элемента - многоэтапный

процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ,

является интер-

претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального

(исходного) ин-

формационного содержания интерпретируемого математического объекта -

математи-

ческого описания и требуемого конечного информационного содержания

математичес-

кого объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий

переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида

интерпретаций: синтаксичес-

кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и

количес-

твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может

иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные

виды интер-

претаций.

Cинтаксическая

интерпретация

Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение

морфоло-

гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую

организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая

интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического

языка, так и различных матема-

тических языков.

При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов

задач реализации.

Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан

кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации

сформировать мор-

фологическую структуру математического выражения

[pic]

(1)

Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую

структуру,

которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя

(эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации

преобразовать в со-

ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру St[pic]в

адекватную требуемую St[pic],т.е.

[pic]

(2)

Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую

структуру St[pic], удовлетворяющую общим принципам и требованиям

исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется

посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой

St[pic]до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования

[pic]

(3)

Таким образом, синтаксическая интерпретация математических

объектов даёт воз-

можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять

отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного

математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать

морфологические структурные представ-

ления АМО в рамках одного математического языка.

Семантическая интерпретация

Семантическая интерпретация предполагает задание смысла

математических вы-

ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в

терминах сфе-

ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация

даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы,

виды, клас-

сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и

абстраги-

рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая

интерпре-

тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.

Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл

абстрактному ма-

тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической

модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая

интерпретация.

Качественная интерпретация

Интерпретация на качественном уровне предполагает существование

качествен-

ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях)

которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут

использоваться графические и числовые представления, посредством которых,

например, интерпретиру-

ется режим функционирования объекта моделирования.

Количественная интерпретация

Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в

рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин,

определяющих значение па-

раметров, характеристик, показателей.

В результате количественной интерпретации появляется возможность

из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов

выделить один един-

ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-

ори-

гинала.

Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций -

синтаксической, се-

мантической, качественной и количественной происходит поэтапная

трансформация

АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы [pic]

, в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта

моделирования.