Управление инвестиционными рисками

Статический риск - риск, связанный с возможностью неисполнения

контрагентом своих обязательств. Статический риск включает в себя кредитный

риск неисполнения эмитентом своих обязательств по выпущенным долговым

обязательствам и риск неисполнения контрагентом своих обязательств по

поставке оплаченных банком ценных бумаг или по оплате поставленных ему

банком ценных бумаг.

Динамический риск - риск, связанный с возможным неблагоприятным

изменением рыночной конъюнктуры. Динамический риск включает в себя риск

неблагоприятного изменения процентных ставок на рынке, следствием которого

являются негативные изменения в доходности портфеля, а так же риск падения

ликвидности рынка, следствием которого является невозможность

реализации облигаций портфеля без существенных потерь.

Исходя из текущих условий деятельности на рынке облигаций и политики

Банка, проводимой по отношению к этим операциям и управлению рисками,

устанавливаются следующие нормативы чувствительности к риску.

Неприемлемый риск - величина убытков, неприемлемая с точки зрения

функционирования банка в целом. Устанавливается в абсолютной сумме

руководством Банка.

Предельно допустимый риск - величина убытков, приводящая к

необходимости возмещения их части трейдерами в расчете на величину общего

лимита средств, выделяемых на операции с облигациями. Норматив

устанавливается в инвестиционных ориентирах в соответствии с решением

правления Банка. В абсолютной сумме он рассчитывается как максимальный

процент убытков, превышение которого влечет за собой необходимость

возмещения, умноженный на величину общего лимита средств, выделяемых на

операции с корпоративными облигациями, и деленный на сто процентов.

Максимально приемлемый риск - величина убытков, равная глобальному

стоп-лоссу, установленному в Положение об инвестиционной политике и

портфельном управлении для сектора облигаций в расчете на величину общего

лимита средств, выделяемых на операции с облигациями.

Для того, чтобы трейдер имел более детальную картину о состоянии

своего портфеля, нужно произвести количественную оценку возможных потерь,

связанных с данными рисками.

Оценка статического риска производится на основе кредитного анализа

эмитента или контрагента, а также статистической вероятности неисполнения

своих обязательств эмитентом, обладающим данным уровнем кредитного

качества.

Величина статического риска по конкретной открытой позиции будет равна

произведению суммы открытой позиции на вероятность неисполнения эмитентом

или контрагентом своих обязательств.

Величина общего статического риска портфеля будет равна сумме

статического риска по всем открытым позициям.

Оценка динамического риска производится на основе исторических данных

о ценах и ликвидности рыночных инструментов и прогнозе экономической

ситуации на анализируемый период.

Величина динамического риска изменения процентных ставок равна

максимально возможному негативному изменению стоимости инструмента в

прогнозируемой на период экономической ситуации. Величина риска,

определяемая этим методом не должна превышать величину потерь, определенную

в качестве предельно допустимой, глобальным стоп-лоссом в расчете на данную

конкретную позицию. Динамический риск процентных ставок рассчитывается на

планируемый период владения бумагой. Величина динамического

риска ликвидности равна: для торгуемых бумаг - сумме превышения величины

открытой позиции над среднедневным биржевым оборотом по данному инструменту

за три последних месяца (по номиналу), умноженной на вероятность

неисполнения эмитентом своих обязательств; для бумаг, взятых на

первичном размещении, риск ликвидности рассчитывается аналогично, но

за среднедневной оборот берется среднедневной оборот по наиболее

схожему по своим характеристикам инструменту, который уже

обращается на вторичном рынке.

С целью ограничения величины статического и динамического риска, как

по портфелю в целом, так и по отдельным отраслям и эмитентам на операции с

облигациями устанавливаются лимиты.

Базовый кредитный лимит рассчитывается на основе анализа кредитного

качества заемщика и вероятности дефолта, соответствующей этому кредитному

качеству. Расчет данного лимита больше подходит для облигаций

корпоративного сектора. Величина статического риска у государственных бумаг

очень мала и практически не участвует в расчетах, за исключением

муниципальных облигаций.

Базовый кредитный лимит определяется таким образом, чтобы общая

величина статического риска соответствующая открытой позиции на всю сумму

лимита не превышала величины максимально приемлемого риска. Величина

базового кредитного лимита определяется как сумма максимально приемлемого

риска, деленная на вероятность дефолта данного конкретного заемщика. При

этом, дефолт трактуется в соответствии с определением рейтинговых агентств

Moody's или S&P.

Вероятность дефолта определяется: для предприятий имеющих

общепризнанный кредитный рейтинг, - как процент предприятий, имевших

соответствующий рейтинг и объявивших дефолт в тот же срок от получения

рейтинга, что и анализируемое предприятие плюс один год, среди всех

предприятий, получивших этот же рейтинг в соответствующий период.

Информация берется из публикаций Moody's или S&P. При осуществлении

инвестиций со сроком «до погашения», в качестве периода, для определения

вероятности дефолта, берется срок от получения рейтинга плюс срок

оставшийся до погашения. При наличии прогноза по рейтингу

(позитивный/негативный) вероятность дефолта может использоваться

соответствующая рейтингу на ступень выше или ниже, чем та, которая

присвоена предприятию, но только если оценка прочих рисков подтверждает

прогноз изменения рейтинга.

Для предприятий, не имеющих общепризнанного кредитного рейтинга,

вероятность дефолта оценивается на основе сравнения показателей финансового

положения, кредитной истории, качества менеджмента, доли рынка и прочих

существенных показателей анализируемого предприятия, с показателями

наиболее близкого по характеру деятельности предприятия, которое имеет

общепризнанный кредитный рейтинг в заданный период. При этом, вероятность

дефолта берется не ниже, чем вероятность дефолта за соответствующий период

соответствующая самому низкому кредитному рейтингу по классификации Moody's

или S&P. Для всех предприятий, независимо от того, имеют ли они

общепризнанный кредитный рейтинг или нет, в обязательном порядке проводится

анализ кредитного качества по методике Банка «Зенит» или любой другой

аналогичной методике, или, в случае нахождения таковой, - более

совершенной. При этом вероятность дефолта самого надежного заемщика, вне

зависимости от того, какой кредитный рейтинг имеет данный заемщик, и какова

соответствующая ему вероятность дефолта, обязательно берется не ниже чем

0,01.

Скорректированный базовый кредитный лимит определяется путем

уменьшения, в случае необходимости, величины базового кредитного лимита для

того, чтобы учесть размер компании - эмитента и совокупный объем выпуска

всех эмиссий облигаций данного эмитента, обращающихся на открытом рынке.

Скорректированный базовый кредитный лимит определяется как базовый

кредитный лимит, уменьшенный до величины чистого денежного потока компании

за год и затем уменьшенный до величины, не превышающей 3% от совокупного

объема выпуска всех эмиссий облигаций данного эмитента, обращающихся на

открытом рынке.

На заседание правления банка для последующего утверждения выносится

скорректированный базовый кредитный лимит.

Текущими лимитами ограничивается общий совокупный риск портфеля

корпоративных облигаций, общий совокупный риск вложений в каждую отдельную

отрасль и совокупный риск по каждой открытой позиции.

Глобальный объемный лимит по риску портфеля устанавливается таким

образом, чтобы сумма статического и динамического риска по всем позициям

портфеля корпоративных облигаций не превышала величины неприемлемого риска.

Объемный лимит вложений в одну отрасль равен сумме статического и

динамического риска по всем вложениям в одну отрасль не должна превышать

величины предельно допустимого риска.

Текущий лимит на открытую позицию рассчитывается как сумма

статического и динамического риска по каждой отдельной открытой позиции не

должна превышать величины максимально приемлемого риска.

Текущие лимиты не выносятся на обсуждение заседания правления банка, а

контроль за их соблюдением осуществляется начальником подразделения и

сотрудником, отвечающим за аналитическую работу по операциям с

корпоративными облигациями.

Чтобы избежать непредвиденных потерь по портфелю, нужно проводить

оперативный контроль за рисками и соблюдением лимитов.

Предварительно, перед каждым новым открытием позиции, осуществляются

расчеты рисков. Риски определяются как в отдельности - по новой позиции,

так и, с учетом ранее открытых позиций, по отрасли и по портфелю в целом.

По результатам расчетов, определяется значение текущего лимита на

новую позицию. При этом, открытие позиции на всю сумму текущего лимита не

должно привести к нарушению отраслевого и глобального объемных лимитов.

При покупке инструментов на первичном рынке, допускается открывать

позицию на всю сумму скорректированного базового кредитного лимита, без

учета динамического риска, однако при появлении вторичного рынка по бумаге

и данных для расчетов динамического риска, размер позиции должен быть

уменьшен, в случае необходимости, до величины текущего кредитного лимита.

Отчет по рискам портфеля составляется одновременно с месячным

прогнозом развития ситуации на рынке корпоративных облигаций.

В случае, если по результатам пересмотра, один или несколько лимитов

оказываются нарушенными, в портфель следует внести соответствующие

коррективы.

Бывают такие ситуации, что в портфелях находятся ценные бумаги,

эмитенты которых не имеют кредитного рейтинга, и иногда бывает сложно

определить по параметрам облигации какова степень статического риска у

данного заемщика.

После августовского кризиса 1998 года российский рынок ценных бумаг

пережил ряд потрясений, связанных с неспособностью либо нежеланием

заемщиков исполнять свои обязательства по облигациям и кредитам. В

результате риск дефолта стал одним из наиболее важных факторов, принимаемых

во внимание при оценке долговых ценных бумаг. Традиционной мерой такого

риска является превышение уровня доходности к погашению над безрисковой

процентной ставкой. Мы предлагаем альтернативный подход, который позволяет

математически определить предполагаемую вероятность дефолта по долговым

финансовым инструментам, которая является мерой риска дефолта как на

развивающихся, так и на развитых рынках. Этот показатель играет весьма

важную роль во внутрибанковском планировании.

Трейдеры по ценным бумагам могут использовать этот показатель в

частности для торговли относительной стоимостью (ценные бумаги сходного

кредитного качества должны иметь близкие значения вероятности дефолта).

Во внутри банковском планировании, например при приведении стоимости

фондирования разных направлений бизнеса внутри банка к безрисковым ставкам,

а также для расчетов стоимости хеджирования кредитных рисков, коммерческие

банки пользуются этим подходом.

Умножая данный показатель на стоимость актива, можно теоретически

определить стоимость хеджирования или в случае кредитования клиента банком

размер компенсации за дополнительный риск.

Для расчета предполагаемой вероятности дефолта предположим, что

вероятность его наступления в период между любыми двумя последовательными

платежами не зависит от срока до погашения ценной бумаги. Такой подход

аналогичен тому, который используется при расчете доходности к погашению по

облигациям, когда при расчете приведенной стоимости будущих платежей в

качестве ставки дисконтирования используется одна и та же процентная ставка

— доходность к погашению, рассчитываемая по формуле:

Bond рriсе = [pic]( (3.1)

где YTM — доходность к погашению; [pic]Сi[pic], — платеж по облигации

в момент времени Тi; YTM = r + Risk Premium, где r — безрисковая процентная

ставка.

Для расчета приведенной стоимости будущих платежей в качестве ставки

дисконтирования будет использоваться безрисковая процентная ставка, так как

весь риск будет заложен в оценке вероятных платежей.

Пусть Р — вероятность наступления дефолта в период между любыми двумя

последовательными платежами. Тогда вероятность того, что дефолт не наступит

в первый период выплаты по ценной бумаге, равна (1 - Р), а в i-й период —

произведению вероятностей ненаступления дефолта во все предыдущие периоды и

(1 - Р), т. е. [pic](1 – P)[pic].

Аналогично вероятность того, что дефолт наступит именно в i-й период,

равна (1 - Р)[pic]Р.

В случае если дефолт не наступает, держатель ценной бумаги получает

платеж Сi( а в случае дефолта — остаточную стоимость ценной бумаги RV.

Таким образом, с учетом риска наступления дефолта инвестор может

рассчитывать на получение i-го платежа в размере

(1 - Р)[pic]Сi,- + (1 – P)[pic]P*RV.

При этом текущая приведенная стоимость PV, такого платежа будет равна

PVi = [(1 - Р)[pic]С[pic] + (1 - P)[pic]P*RV]/(1 + r)[pic](

(3.2)

где r — безрисковая доходность (для долларовых облигаций — доходность

по US Treasuries или местному инструменту с минимальным риском дефолта).

РРыночная стоимость ценных бумаг равна сумме приведенных стоимостей

всех платежей, таким образом, зная рыночную цену, можно рассчитать

предполагаемую вероятность дефолта:

Bond price = [pic]. (3.3)

Такое распределение вероятности описывается экспоненциальной

зависимостью: D(T) = 1 – е[pic] — функция распределения вероятности дефолта

в течение срока, где р — плотность распределения вероятности дефолта.

Вероятность Р может быть выражена следующим образом:

Р = 1 - е[pic].

(3.4)

Отметим, что для большинства ценных бумаг (Тi - Т[pic]) величина

постоянная, т. е. величина Р не зависит от срока до погашения.

Формула для приведенной стоимости ценной бумаги может быть сведена к

следующей:

Bond price = [pic]( (3.5)

и задача сводится к нахождению р. Таким образом, зная величину, можно

определить годовую вероятность дефолта по формуле D = 1 - e[pic]. D(T) —

вероятность наступления дефолта в течение срока Т, где р — плотность

распределения вероятности дефолта (в нашем предположении р не зависит от

времени). dD(t) = (1 - D(t))pdt — приращение функции распределения

вероятности дефолта при приращении времени на dt. d(l -

D(t))/(l - D(t)) = -pdt. Отсюда D(t) = 1 – e[pic]. Вероятность

ненаступления дефолта в течение срока Тi равна произведению вероятности

ненаступления дефолта в срок Т[pic] на (1 - Р), т. е. е[pic](1 - Р) =

е[pic]. Отсюда P = 1 - e[pic].

Приведенная выше модель может быть использована инвесторами и

трейдерами для сравнения ценных бумаг сходного кредитного качества.

Например, при уровне остаточной стоимости 12% от номинальной стоимости

предполагаемая годовая вероятность дефолта по российским еврооблигациям в

начале марта составляла 9 — 11%.

В то же время по ОВГВЗ составляет от 11% (по 7-му траншу) до 25% (по 4-

му траншу), что говорит о несоответствии оценки ценных бумаг участниками

рынка и агентством Standard & Poor's, которое недавно уравняло рейтинги

ОВГВЗ и еврооблигаций на уровне ССС+.

Коммерческими банками такая модель может быть использована для расчета

маржи над безрисковой процентной ставкой для заемщиков с различным

рейтингом.

Рассмотрим ситуацию, когда в банке существует система внутренних

рейтингов заемщиков и некоторые кредиты имеют частичное покрытие, которое

может рассматриваться как остаточная стоимость в случае неисполнения

заемщиком своих обязательств.

Предполагается выдать кредит заемщику с рейтингом, предполагающим 10%-

ю вероятность неисполнения обязательств. Кредит подлежит погашению через

год с выплатой половины суммы через полгода и оставшейся суммы через год.

Если безрисковая ставка в данной валюте составляет 15%, а остаточная

стоимость 20% от суммы кредита, то согласно приведенной модели процентная

ставка должна составлять 23,85%.

В случае изменения рейтинга заемщика (оценки вероятности неисполнения

обязательств) с помощью этой же модели можно переоценить стоимость кредита.

Например, если через 3 месяца после выдачи кредита рейтинг заемщика

предполагает вероятность неисполнения обязательств 15%, а остаточная

стоимость оценивается в 10%, то стоимость такого кредита будет составлять

97,3%.

Рассмотрим еще один пример, где применяется данная модель. Компания

обращается в банк за возобновлением кредита. С момента подачи последней

заявки кредитоспособность компании, по мнению банка, упала и риск

кредитования возрос, по крайней мере, на 10 процентных пунктов, до 20%.

По сравнению с предыдущим разом в случае продажи займа на рынке вы

получили бы только 90 центов/долл. При той же оценке уровня остаточной

стоимости изложенная выше методология предлагает вам повысить ставку займа

на 10,4 процентных пунктов, с 23,85 до 34,25%.

Таким образом, модель оценки вероятности дефолта может быть

инструментом оценки рыночной стоимости существующих долгов, а также

механизмом определения процентных ставок по кредитам с учетом риска

заемщика.

Для трейдеров наряду с доходностью к погашению данная модель может

служить удобным инструментом для сравнения привлекательности облигаций

различных эмитентов, позволяя численно определить уровень риска дефолта.

Для коммерческих банков применение данной методологии осложнено

российскими реалиями, например:

• дифференциацией отношений компаний с кредиторами: одним платят,

другим нет;

• отсутствием внутрироссийских рейтингов компаний и др.

Тем не менее внутри банков рейтинги заемщиков должны существовать,

поэтому некоторые элементы предложенного подхода могут быть использованы

как элементы в создании внутрибанковских методик оценки рисков.

Рассмотрим как производится оценка доходности и риска ценных бумаг с

фиксированным доходом, в частности векселей и облигаций.

Сейчас трудно найти работу, в которой бы проводился вероятностный

анализ доходности и риска долговых обязательств. Скорее всего, это связано

с тем, что доходность такого рода бумаг не лежит в произвольно широких

пределах, как это имеет место для акций и паев взаимных фондов на акциях.

Моделируя ценные бумаги с фиксированным доходом, мы знаем параметры выпуска

(дата выпуска, цена размещения, дата погашения, число купонов, их размер и

периодичность). Единственное, чего мы не знаем, - это то, как будет

изменяться котировка этих бумаг на рынке в зависимости от текущей стоимости

заемного капитала, которая косвенно может быть оценена уровнем федеральной

процентной ставки страны, где осуществляются заимствования.

Идея вероятностного анализа долговых обязательств, представленная

здесь, состоит в том, чтобы отслоить от истории сделок с долговыми

обязательствами неслучайную составляющую цены (тренд). Тогда оставшаяся

случайная составляющая (шум) цены может рассматриваться нами как случайный

процесс с непрерывным временем, в сечении которого лежит нормально

распределенная случайная величина с нулевым средним значением и со

среднеквадратичным отклонением (СКО), равным ((t), где t – время наблюдения

случайного процесса. Ожидаемый вид функции ((t) будет исследован нами

позже.

Получим аналитический вид трендов долговых обязательств и для начала

рассмотрим простейшие случаи таких выражений, которые имеют место для

дисконтных бескупонных облигаций и дисконтных векселей.

Пусть бумага данного вида эмитирована в момент времени TI по цене N0 <

N, где N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0 составляет дисконт

по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM,

когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.

Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу.

Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является

трендом для случайного процесса цены бумаги.

Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год.

Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n

– го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале

(k+1) – го года обращения бумаги, имеет вид:

[pic] (3.6)

где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента,

определяемая по формуле:

[pic] (3.7)

Формула (3.6) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой

внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют

реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному

году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле,

предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом

обращения дисконтного инструмента.

Получим аналоги формул (3.6) и (3.7) для непрерывного времени,

предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени

с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом.

Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы

числом n и длительностью

[pic] (3.8)

Обозначим t = TI + k * ( и применим к расчету рыночной цены бумаги

формулы (3.6) и (3.7). Это дает:

[pic], (3.9)

[pic] (3.10)

Предельный переход в (3.9) и (3.10) при ( ( 0 дает:

[pic] (3.11)

[pic] (3.12)

Рис. 3.1.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации

Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для

непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис.

3.1.1.

Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим

частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

[pic] (3.13)

Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет

нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения

бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО)

шума как функцию вида:

[pic] (3.14)

Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.

С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем

случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум

процесса имеет вид

[pic] (3.15)

где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).

Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО

Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением

корректирующего делителя

[pic]. (3.16)

Тогда процесс (*(t) является стационарным, и в его сечении находится

случайная величина с матожиданием 0 и с СКО (0. И определение фактического

значения параметра (0 этого процесса может производиться стандартными

методами.

Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности

долгового инструмента, в процентах годовых:

[pic] (3.17)

где Т - период владения долговым инструментом.

Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не

рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот

момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и

является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с

матожиданием С(t + T) и СКО ( (t + T) (эти функции вычисляются по формулам

(3.11) и (3.14)).

Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет

параметры:

[pic] (3.18)

[pic] (3.19)

Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент

времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2

года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор

намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая

цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для проведения

статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год

ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на

протяжении оставшегося года владения ( T ( [0, 1] ) как случайный процесс и

определить параметры этого процесса.

Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации

составляет

r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (3.20)

а справедливая цена

С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t ( [0, 2]. (3.21)

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума

цены, согласно (3.14), имеет вид

[pic] (3.22)

где (0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума

цены вида (3.16).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее

доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18),

(3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, ((1+1)

= 0, ((1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых –

неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой,

задавшись параметром СКО шума (0 = 20$. Тогда

C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (3.23)

[pic] (3.24)

[pic] (3.25)

[pic] (3.26)

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0,

причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено

соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки

заимствования, с учетом периодичности платежей). Обозначим размер купона

(N, а число равномерных купонных выплат длительностью (( за период

обращения обозначим за K, причем для общности установим, что платеж по

последнему купону совпадает с моментом погашения бумаги.

Тогда временная последовательность купонных платежей может быть

отображена вектором на оси времени с координатами

[pic] (3.27)

Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет

вид:

[pic] (3.28)

где [pic] - (3.29)

номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,

[pic] (3.30)

[pic], (3.31)

моменты (i определяются соотношением (3.27), а внутренняя норма

доходности долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного

уравнения вида

С(TI) = N0. (3.32)

Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному

выше случаю дисконтной бумаги.

Анализ соотношений (3.30) и (3.31) показывает, что шум цены, тренд

которой имеет вид (3.28), является нелинейно затухающей кусочной функцией

на каждом интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы

две составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и

локальную – на соответствующем моменту t интервале накопления купонного

дохода.

Исследуем характер шума цены процентной бумаги:

[pic] (3.33)

где C(t) – тренд цены - определяется по (3.28).

Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере

дисконтных бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:

[pic] [pic] (3.34)

где [pic]

(3.35)

а i определяется по (3.29). Соотношение (3.35) является частной

производной справедливой цены (3.28) по показателю внутренней нормы

доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.

Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный

делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к

стационарному будет иметь вид:

[pic], (3.36)

где [pic]определяется по (3.35). При уменьшении величины купона до

нуля соотношение (3.34) переходит в (3.14), что косвенно подтверждает

правоту наших выкладок.

На рис. 3.1.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а

на рис. 3.1.4 – примерный вид СКО такой бумаги.

Рис. 3.1.3. Функция справедливой цены процентной бумаги

Рис. 3.1.4. Функция СКО процентной бумаги

Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (3.17) –

(3.18) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:

[pic] (3.37)

где m – число оплаченных купонов процентной бумаги за период T.

Вывод о том, что случайный процесс [pic]имеет в своем сечении

нормальную величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной

величины:

[pic] (3.38)

[pic] (3.39)

Рассмотрим расчетный пример.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент

времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 3

года c дисконтом 10%, то есть по эмиссионной цене N0 = 900$. По бумаге

объявлено три годовых купона по ставке 20% годовых, то есть размером (N =

200$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1 сразу

после первого купонного платежа. В этот момент текущая цена бумаги на рынке

составляет H(1) = 940$. Для проведения статистического анализа доступна

история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется

идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшихся

двух лет владения ( T ( [0, 2] ) как случайный процесс и определить

параметры этого процесса.

Определим внутреннюю норму доходности нашей процентной бумаги,

итеративно решив уравнение (3.32). Тогда, согласно (3.28), это уравнение

приобретает вид:

(1000 + 200) * exp(-r) + 200*(exp(-r/3) + exp(-2r/3)) = 900,

(3.40)

откуда методом итераций получаем r = 67.2% годовых.

Выражение для справедливой цены приобретает вид:

[pic] (3.41)

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума

цены, согласно (3.34) – (3.35), имеет вид

[pic] (3.42)

где

[pic](3.43)

а (0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума

цены вида (3.36).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее

доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18),

(3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 2, C(3) = 1200$, ((1+2)

= 0, ((1+2) = 0, и R(1,2) = (1200-940)/(940*2) = 13.83% годовых –

неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 1 год владения бумагой

непосредственно перед получением дохода по второму купону, задавшись

параметром СКО шума (0 = 20$. Тогда

C(2-0) = 1200*exp(-(3-2)*0.672/3) + 200 = 1159.2$, (3.44)

[pic], (3.45)

[pic] (3.46)

[pic] (3.47)

Обладая квазистатистикой ценового поведения облигации, мы можем

оценить СКО шума цены (3.14) и (3.34) как треугольную нечеткую функцию

фактора времени. И все соответствующие вероятностные распределения

приобретают вид нечетких функций, а случайные процессы приобретают

постоянные нечеткие параметры.

Мы получили вероятностную интерпретацию цены долгового

инструмента. Зная матожидание и дисперсию цены, мы можем оценивать то же

для текущей доходности. И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая

максимум доходности портфеля при фиксированном СКО портфеля.

Если квазистатистики по отдельной долговой бумаге нет, можно

воспользоваться статистикой квазистатистикой ведущих индексов по долговым

обязательствам (например, индексами доходности по 10-летним или 30-летним

государственным долговым обязательствам, анализируемыми в пределах

последнего года). Параметры случайных процессов для этих индексов могут

быть взяты за основу при моделировании ценовых случайных процессов для

индивидуальных долговых обязательств, при этом мера уверенности эксперта в

оценке параметров будет находиться в обратной зависимости от ширины

расчетного коридора, формируемого соответствующими нечеткими числами и

вероятностными распределениями с нечеткими параметрами.

3.2. Хеджирование как метод страхования рисков

Стремление финансиста избежать риска и обеспечить себе гарантированную

доходность вложенного капитала побуждает его к такой организации портфеля

активов, при которой получается минимально возможный разброс эффективностей

относительно приемлемого для него значения. Эта проблема близка по

содержанию еще одной, практически важной, задаче составления такого

портфеля, доход от которого заведомо позволит обслужить все имеющиеся на

заданную дату обязательства (долги).

Одна из главных проблем финансовой математики и финансовой инженерии

состоит в том, чтобы выявить условия, при которых подобное снижение риска

осуществимо. И если это так, то определить начальный капитал, делающий

возможным подобное хеджирование.

Одним из основных факторов снижения риска выступает отрицательная

коррелированность эффективностей портфельных компонентов. В связи с этим

соответствующие стратегии хеджирования основываются на противопоставлении

опционов на акции и самих акций, а также облигаций различной срочности.

Известно, что активы с отрицательно коррелированными доходностями

снижают риск портфеля. Данное свойство применяют для получения защищенных

от риска финансовых вложений, сочетая те направления, у которых возможные

уклонения доходностей от их ожидаемых значений противоположны.

Этим, в том числе, объясняется становление на развитых финансовых

рынках биржевой торговли по заключению контрактов с опционами и фьючерсами

- одними из основных финансовых инструментов, относящихся к производным

ценным бумагам и обладающих хеджирующими достоинствами. О масштабах

торговли можно судить хотя бы потому, что, например, на Нью-Йоркской бирже

в дневном обороте заключаются 3,4 млн. опционных контрактов. Если учесть,

что каждый единичный контракт - это сделка на куплю или продажу 100 акций,

то, следовательно, ежедневно было задействовано порядка 340 млн. акций.

Высокий спрос на фьючерсы и опционы поддерживается, в отличие от

акций, благодаря заинтересованности инвесторов в снижении портфельного

риска и вопреки неблагоприятным значениям ожидаемой доходности (низкая) и

риска (высокий). Для удачливых инвесторов достигаемые здесь эффективности

могут быть намного выше, чем по акциям, что, впрочем, уравновешивается, в

силу контрактного характера этих бумаг, проигрышем "оппонентов".

Проиллюстрируем на примере акции и колл-опциона полярность изменения

доходностей финансового актива и заключенного на него срочного контракта.

Пусть для определенности это будет европейский тип опциона «при деньгах»

(контрактная цена равна текущему курсу), который дает право на дату покупки

акции по цене, равной текущей котировке S, и допустим, что за контрактный

срок Т дивиденды на акцию выплачиваться не будут.

При удорожании акции до уровня St > S держатель опциона воспользуется

своим правом и эмитент вынужден будет исполнить контракт по заниженной

цене. В результате его брутто-потери (без учета премии) составят величину

fт = ST - S, равную тому выигрышу, который он имеет как владелец акции

(происходит перекачка выигрыша по акции в карман держателя опциона). В

противоположной ситуации, если произойдет понижение цены (ST < S), он

потеряет по акции, но выиграет по опциону, (получит премию без вычетов).

На рынке ценных бумаг отмеченная разнонаправленность обнаруживает себя

через отрицательную статистическую связь (корреляцию) доходностей по акциям

и опционам.

Этот пример подсказывает, в частности, один из доступных способов

получения безрискового портфеля через соблюдение хеджирующей пропорции

между числом проданных колл-опционов (короткая позиция), в расчете на одну

купленную акцию. Заметим, что разнообразие опционных позиций (2 х 2 = 4) по

вариантам сделки (купить, продать) и видам опционов ("колл", "пут")

позволяет прийти к другим вариантам отрицательных корреляций, например

сочетать покупку акций и пут-опционов на нее. Это, в свою очередь,

расширяет возможности составления хеджирующих смесей.

В качестве еще одного варианта отрицательной коррелированности

рассмотрим разнопериодные облигации. В дальнейшем будет показано, как это

свойство позволяет решать "защитные" задачи от риска, связанного с

изменением процентной ставки. Для простоты ограничимся обсуждением

бескупонных облигаций.

В общем случае разные периоды будут отличаться эффективностями

вложений. Информация об этом содержится в кривой доходности (yield curve),

отражающей зависимость доходности к погашению от срока выпуска до

погашения. Взаимоотношение между доходностью и срочностью долговых

контрактов (облигаций) называется еще временной структурой процентных

ставок (term structure of interest rates). Практически эта кривая строится

по текущим рыночным ценам на государственные долговые обязательства

(которые признаются безрисковыми) различных сроков погашения. Обычно кривая

доходности имеет положительный наклон, то есть ценные бумаги с большим

сроком до погашения имеют более высокую доходность.

В повседневной деятельности инвесторы в зависимости от своих запросов

опираются на различные варианты кривых доходности. Для сравнительного

анализа временной структуры ими привлекаются как процентные ставки,

выводимые из текущих котировок однотипных бумаг с разными датами эмиссии,

Страницы: 1, 2, 3, 4