Глубокие изменения в науке XVI-XVII века, закрепившие за этим периодом название “научной революции”, коснулись не только науки о природе, но и математических дисциплин. Создателям дифференциального и интегрального исчисления, аналитической геометрии, теории вероятностей предстояло преодолеть серьезные препятствия. Сложность заключалась не только в чисто технических, узконаучных моментах,- уже античность умеет по-своему интегрировать и проводить касательные, - но и в общефилософском плане. На пути создания математического анализа и аналитической геометрии стояли классические представления древности и средневековья о природе числа, континуума, о нормах строгости, доказательности в математике, - короче, о всем том, чем должна быть математика в рамках некоторой мировоззренческой перспективы. Пионерам новоевропейской математики - Валлису, Ферма, Декарту, Паскалю и др.- пришлось преодолевать не только узкоматематические трудности, но и вести спор с тысячелетними философскими традициями. Следует также отметить, что сложнейшие гносеологические проблемы, сопутствующие рождению новоевропейской математики, имеют не только исторический интерес. Ключевые проблемы математики XX века - интуиционизм, логицизм, конструктивные направления, нестандартный анализ и др.- теснейшим образом связаны с научными спорами XVI-XVII веков.

В плане чистой истории математики изобретение Декарта не было “потрясением основ”. Весь XVI век математика Западной Европы переживает бурный процесс алгебраизации. Истоки же этого движения нужно искать еще раньше, в позднем средневековье. С XII века, когда в Европе начинают переводить на латынь сочинения Евклида, Птолемея, Аль-Хорезми, вместе с переводами с арабского в западноевропейскую культуру транслируется и особый образ математики, сыгравший формирующую, заправляющую роль. Из математики исламской культуры приходит подчеркнутое пристрастие к алгоритмическим методам, к знанию, сформулированному в виде правил и рецептов.

Декарт, демонстрируя в своей книге мощь нового метода аналитической геометрии, существенно преакцинтирует само понимание геометрии - и в смысле метода, и в смысле предмета. Причины этой трансформации - и простирающиеся вплоть до нашего времени следствия ее - связаны с глубокими изменениями философского и общекультурного горизонта, внутри которого только и существует математика любой эпохи, с новыми ценностными ориентирами, характерными для науки XVII века.

Чтобы лучше понять смысл декартовского переворота в математике, нам нужно вспомнить, как осознается в античности познавательный статус геометрии. Пифагорейски-платоновская традиция понимает геометрию как науку двойственную, обязанную своим существованием двум принципам: интеллекту и воображению.

Греческая геометрия, развивавшаяся в русле платоновско-пифагорейской традиции, делала особый акцент на созерцательном характере геометрических методов, подчеркивала важность целостного постижения геометрических образов, небезразлично относилась и к эстетическому аспекту геометрии.

Сущность декартовской новации являлась ее алгебраизация. Новым, что принесла с собой картезианская “геометрия”, было принципиальное, систематическое сведение геометрических задач к алгебраическим. Речь щла не о новых удачных приемах решения задач, а об изменении самой точки зрения на геометрию. Понять эту трансформацию можно лишь обратившись к декартовскому философскому учению о методе. Действительно, существует удивительная непрерывность в переходе от чисто философских построений “Рассуждений о методе” к геометрическим конструкциям в “Геометрии”.

“Под методом же, - пишет Декарт, - я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и, без лишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что ему доступно”. Сформулируем специально эти характерные черты декартовского метода: достоверность, простота, механичность, продуктивность, полнота. Метод, однажды найденный, уже не требует для своей эксплуатации особых интеллектуальных усилий. Пользование им в науке приводит последнюю к своеобразной “механической работе”, безразличность которой, как неукоснительное невозмутимое следование предписанным правилам, служит даже гарантом правильности получаемых результатов и, следовательно, их истинности. В “Правилах” метод Декарта распадается на множество предписаний различной степени общности. В “Рассуждениях о методе” эти предписания сведены к четырем основным. Но для нас сейчас важнее другое. Поскольку правила метода выводятся из рассмотрения “структуры” самого человеческого разумения вообще, безотносительно к какой-либо конкретной науке, то они имеют трансцендентальный характер. Другими словами, эти правила характеризуют познание с его априорной стороны, с точки зрения его формы и играют роль в любых науках. Так, уже арифметика и геометрия древних, пишет Декарт, “являются не чем иным, как самопроизвольными плодами, возникшими из врожденных начал этого метода...”. Именно это, отчасти уже утраченное “искусство человеческой мудрости”, пытались воскресить, по мнению Декарта, и его современники под именем алгебры. “...Таким образом,- пишет Декарт,- должна существовать некая общая наука, объясняющая все относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным (т.е. арабским “алджебер”.), но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей математики...”.

Идея “всеобщей математики” (mathesis universalis) была в высшей степени популярной в XVI-XVII веках. Идея эта восходит еще к тому образу математики, под которым она культивировалась в древних цивилизациях Египта, Вавилона, Индии.

Из этого алгоритмического понимания математики естественно вырастает идея об универсальном алгоритме - правиле, приеме, который бы позволил чисто механически, “без излишней траты умственных сил” решить любые проблемы. “Естественно”, говорим мы, но только при одном условии. Предпосылкой этого перехода является общая прагматическая ориентация в понимании сущности знания. Знание, как совокупность приемов и методов для достижения тех или иных целей. XIII век является свидетелем м гораздо более серьезной новации: францисканский миссионер Раймонд Луллий создает свое знаменитое “Великое искусство”, как одну из первых попыток “автоматизации” процесса логических рассуждений (напечатано было Ars magna только в 1480 году). Весь XVI век проходит под знаком настойчивых поисков удобной алгебраической символики, которая позволила бы создать некое “исчисление” для решения задач (К. Рудольф, М. Штифель, Р. Бомбелли, П. Рамус, С. Стевин, Ф. Виет и др.). В 80-х годах XVI века Дж. Бруно яростно защищает свой платонизированный вариант луллизма в Сорбонне. В XVII веке идея mathesis universalis привлекает не только Декарта, но и Лейбница, который всерьез начинает строить формальный язык своей “всеобщей характеристики”. Эта мощная традиция (в европейской культуре восходящая, вероятно, еще к идее “Органона” у Аристотеля) доходит и до XX века, обновляясь (и радикализируясь) в проблемах, связанных с компьютеризацией, “искусственным интеллектом”, логицистким обоснованием математики.

Декарт делает решительный шаг: он объединяет арифметику и геометрию в общую науку на основании операционного сходства их предметов. Это более общая наука, занимающаяся уже не числом и не протяженностью, а свойствами операций над ними, и называется алгеброй. Алгебра в этом смысле выступает как абстрактная алгебра, как наука, систематически изучающая не некие реальности, а отдельные выделенные свойства этих реальностей безотносительно к целостности последних. Этот способ, особенно угол зрения на математические объекты, отнюдь не естественен сам по себе и для античных математиков был бы в высшей степени надуманным и бесполезным. Чисто гносеологически он состоит в перемещении внимания с объекта познания на его субъект, в тотальности деятельностной установки которого стираются различия в манипулируемых объектах. Для выработки этой установки требовалось духовное усилие целой культурной эпохи, простирающейся от позднего средневековья до XVII века. Алгебраизация математики есть лишь внутриматематическое выражение этой более широкой философской (и, шире, мировоззренческой) тенденции.

С помощью “исчисления господина Декарта” человек, отнюдь не обладающий особыми математическими способностями, может решать задачи, которые в рамках традиционных методов античной геометрии были доступны лишь профессионалам высокого уровня. Решение задачи требует лишь аккуратной ее формализации- перевода на язык символов и далее чисто механической работы, связанной с преобразованием алгебраических выражений. Алгебра выступает почти универсальным посредником при решении геометрических (как и арифметических) задач. Сама по себе алгебра есть лишь наука операций, производимых над отрезками: каждому алгебраическому выражению соответствует последовательность действий над геометрическими (или арифметическими) величинами. В этом отношении алгебра есть не что иное (не что большее), как техника геометрических операций. И именно поэтому мы приводимся к необходимости рассмотреть всеми алгебру на фоне более общих вопросов, касающихся природы техники.

Метода: “без излишней траты умственных сил”, механически следуя простым правилам некоторого исчисления, иметь возможность решать разнообразные задачи. Алгебраическая техника не требует ни особых усилий воображения, ни тем более “интеллектуального созерцания”.

Техника связана с властью, техническое знание есть сила. “Техника - это умение, методы которого являются по отношению к цели внешними. Это умение- способность делать и обладать, а не созидать и предоставлять растит”. Действительно, применение алгебры в геометрии выступает как нечто внешнее по отношению к самой “материи” этой науки. Алгебраический “механизм” режет, комбинируют, считает, но своего элемента, своего “простого” - отрезка, как непрерывной величины, как действительного числа - он не знает (да и не хочет знать).

Техника перестраивает и создает новый мир. “Создание орудий труда подчинено идее некоторого единства, а именно единства в рамках постоянно расширяющегося при своей замкнутости преобразования человеком окружающей его среды”. И эта черта функционирования техники находит себе параллель в “Геометрии” Декарта. Общая тенденция технической цивилизации, проявляющаяся в приспособлении окружающей среды (и даже человека) к способу функционирования машины - прокладка автомобильных и железных дорог, экспансия формальных языков во все сферы культуры, формализация искусства, приспособление человека к ритму работы машины и т.д., - находит полную аналогию и в декартовской “революции в геометрии”. Понятным, рациональным, научным становится только то, что доступно обработке с помощью априорного метода. Все иное выталкивается за границы науки, объявляется иррациональным, а то и бессмысленным, а то и - при некотором навыке... несуществующим.

С механическим, отчужденным характером деятельности человека, воплощенной в технике, связаны и возникающие на почве технизации серьезные проблемы. “Там, где методы, допускающие практическое усвоение и входящие в самую сущность технической деятельности, превращаются в самоудовлетворяющуюся рутину, это усвоение способствует не обогащению жизни... а ее обеднению”. То же можно повторить и в отношении алгебраизации в “Геометрии”. Решение задач, сведенное к механическому вычислению, обессмысливает геометрию как таковую. Чисто алгебраические вычисления требуют лишь определенного типа внимания, как бы не нуждаются уже в “целом человеке”. Лишенная творческого усилия, эта деятельность сама по себе утомительна, скучна и антигуманна по своей сути. Человек здесь воистину оказывается лишь придатком - придатком машины алгебраического метода.

Этот бросающийся в глаза параллелизм между характеристиками материальной техникой и алгеброй не случаен. Алгебра, как мы уже подчеркивали, исходно есть наука операций, техника манипулирования числами и геометрическими величинами. Будучи по сути своей техникой, она порождала (и порождает) все основные проблемы, сопутствующие технике.

Смысл сближения алгебры и техники можно понять из следующего сопоставления. Высшей, предельной задачей техники является создание универсального механизма - универсального робота. В настоящее время, время мощного технологического взрыва, тотальной автоматизации на основе современных компьютерных средств, регулятивный характер этой идеи проявляется все более очевидно. Интересно, что и на заре новоевропейской цивилизации в XV-XVI веках идеи гомункулуса, “голема”, человекообразного автомата были очень популярны (и имели следствием даже попытки их технического воплощения). С другой стороны, “идеальной” целью алгебры - и одновременно, как мы уже отмечали, ее истоком- служит идея универсального алгоритма. Пышно разросшееся “древо” абстрактной алгебры выделило уже из себя к XX веку специальную дисциплину- математическую логику. На базе последней создаются различные искусственные языки, позволяющие в той или иной степени “формализовать” некоторые человеческие действия, т.е. представить и как совокупность операций, доступных машинному моделированию. Это две идеи- идея машины, автомата и идея алгоритма, - продолженные до своего логического предела, взятые в своей полноте, в пределе “пересекаются”. Этим пересечением служит идея искусственно созданного существа, по своим физическим возможностям превосходящего, а по интеллектуальным, как минимум, равного человеку. Причем универсальный алгоритм представлял бы собой как бы “душу” этого существа.

Декарт при определении простого и сложного построения идет от своего метода, от рациональной конструкции. Но так как метод есть геометрическое выражение законов всеобщей человеческой “мудрости”, лежащей в основании всех наук, то простое, в смысле метода, есть оптимальное, истинное. Простое решение, в смысле простоты геометрического построения задачи, есть для Декарта лишь “эпифеномен”, дурная привычка принимать случайное за основное, за истинное. И эту привычку должно преодолеть. В этом смысле мы отмечали выше, что метод Декарта, внедрение алгебры есть не просто новый технический прием. Он есть новая культура, культивирование новых ценностей, в частности нового критерия простоты и сложности. Он есть создание нового мира, в борьбе со старым, традиционным утверждающего новые ценности. Именно от лица этого “старого мира”, старого порядка ценностей - впрочем, не просто “естественного”, но и освященного двухтысячилетней математической традицией - и выступает Ньютон.

Новая геометрия была неотделима от новой культуры, новой, становящейся формации, нового человека. И “Новый органон” Ф. Бэкона, и экспериментальный метод Г. Галилея, социальная “инженерия” Т. Кампанеллы, и неукротимая воля драматических героев П. Корнеля - все свидетельствовало о рождении нового человека, активного, деятельного, перестраивающего мир.

Декартовский философ, погружающийся в “бездну” сомнения, довольно быстро нащупывает в этой “бездне” дно, точку опоры, и на ней, как на фундаменте, начинает строить Вавилонскую башню своей универсальной науки. Движение научного знания после этого уже исключительно экстенсивное- сложное складывается из известных простых элементов- и в принципе может быть механизировано. “Жизнь”, конечно, сопротивлялась этой программе знания, “не работали” некоторые алгоритмы, да и сами элементы знания отнюдь не были так бесспорно понятны, как требовала этого сама же декартовская программа. Нужно было или отказываться от предвзятых эпистемологических схем, или ... перестраивать саму действительность, подгоняя ее под выбранную заранее модель (мы видели, как это делал Декарт в геометрии). Примеров последнего пышное дерево механицистких конструкций XVII-XVIII веков дает немало. “Дух деятельности” сплошь и рядом оттеснял “дух мудрости”. Это стремление прекрасно выражено у Гете в заключительной части “Фауста”. Фауст раздражен бесплодной и бессмысленной, по его мнению, катрино чередования приливов и отливов моря. Должно упорядочить все это случайное - по мнению Фауста! - “коловращение” стихий, обуздать их- построить плотину. На ироническое замечание Мефистофеля, что Фауст ищет славы, последний отвечает:

Не в славе суть. Мои желанья-

Власть, собственность, преобладанье.

Мое стремленье - дело, труд.

Пафос дела, труда, власти нем свою славу в самом себе. Техника же как бы служила главным символом, воплощения этого пафоса. К концу нашего столетия мы уже начали немного осознавать, что титаническое желание части перестроить целое согласно своей воле может привести к катастрофе и что сплошь и рядом смиренное следование природе, согласно максиме “не повреди”, оказывается гораздо мудрее. Тогда же, когда все это начиналось, в XVII веке, духовная ситуация была иной. “Фаустовский” дух деятельности становился всепронизывающим. Он проникал даже в теоретические дисциплины, перестраивал их, ориентировал их развитие в новом направлении.